374 Egon Eicbwald und Andor Fodor. 



Bei diesem Integral ist durch die Substitution a^ + x^ = t das Inte- 

 gral auf die Form / — gebracht worden. Offenbar ist dies immer dann 

 möglich, wenn der Zähler des zu integrierenden Ausdrucks das Diffe- 

 rential des Nenners ist, wenn also das Integral die Form / — ^ — 



hat. Setzt man dann f ( x ) = t, so wird dt = f ' (x) dx und 



7. Es sei z. B. /^^-^ — ; — dx zu berechnen. 



J ax- + bx 



Setzt man ax- + bx = t, so wird dt = (2äx + bj dx. 



Dann ist ll^ll^ dx = /-^ = In t = In fax'- + bx ) -f C. 

 J ax- + bx J t 



f'i' (x) dx 



8. Häufig ist die Form des Integrals j — j— — jedoch nicht un- 

 mittelbar gegeben, sondern muß erst durch eine vorherige Umgestaltung 

 geschaffen werden. Auch ein solches Beispiel wollen wir noch untersuchen. 



Es soll berechnet werden : j tg x dx. 



Da tg X = - — - ist, so ist dieses Integral = 1- — ^ ' \ 

 cosx J cosx 



Nun ist d (cos x) = — sin x . dx. Es sei jetzt cos x = t und 



dt=: — sinx.dx. 



„ , ,. , . ^ /'sinxdx /* — dt , ^ , ^ 



Folglich ist / = / — - — = — In t = — In cos x 4- C. 



J cosx J t 



9. Von Wichtigkeit ist wegen späterer Anwendungen auch folgendes 



Integral: / . Man setzt hier x = a.t. Also dx = adt und es wird 



^ J a^ + x2 



r dx r adt 1 r dt 1 ^ , 1 . r X ^ . , 



/— = / = — /:; - = — arc tg t = — arctg— (siehe 



J a2 + x2 J si-' + üH- a .7 1 + t'- a ® a ^ ^ a >* 



S. 372, 12, b). 



Auf dieses Integral läßt sich ein anderes Integral zurückführen, 



Jdx 

 -; :; tt 

 (x — a)2 + b2 



Man setzt — - — = t. Dann wird dx = b dt und 

 b 



r dx r bdt _ 1 r dt _ 1 ^^^^ ^_ 



J (x — aj2 + b2 J h"'rix — 3£ ^ ~ b J t^ 4- 1 ~ b ^^^ ^ ~ 



1 ^ X — a „ 

 = -r-arctg— r — + C. 

 b b 



