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Mathematische Behamlldiip liiolojfisrhcr Prohleinc. 375 



Ks würde natiii'Iich weit ühci- den Iliilmicii difsci- I »ur^tclluiitr hinaus- 

 gehen , wenn wir aUe naturwissenschattlich wichti^M-n Ausdruck»' hi<*r al>- 

 leiten wollten. Es mulj genii;j:('n, eini^^e <ler hiiuiif,'er in Hetracht komnu-nden 

 Formeln zu entwickeln und vor allem die liaiiptmcthoden an/ui.M'l>en. nach 

 denen die Integrationen ausgetührt werden. 



"Wir wenden uns jetzt der zweiten der oben genannten Mcthotlcn zu, 

 der Integration durch partielle Integration. 



Die partielle Integration. 



Der Sinn dieser Methode liegt in folgendem hcgnindet : Wie wir in 

 der Differentialrechnung (8. 316) sahen, ist das Differential 



d(u . v) = V . (1 u + nd V. u und v sind liirr Funktionen von x. 



Integriert man diese (deiehung. so erhillt man 



u . v=./ V . du + / udv. 



d. h. man ist imstande, die Integration von v . du auf die Lösung des In- 

 tegrals u . dv zurückzuführen, und man wird dies allemal dann in der l'raxis 

 tun, wenn /u dv leichter lö.sbar ist als /v du. 



Aus der obigen Gleichung ergibt sich alsdann 



j'v . du = u.v — j u . dv. 



1. Es soll /inx.dx berechnet werden. 



Man sieht" hier sofort, daß die Methode der partiellen Integration 



angebracht ist, da dlnx=: — .dx ist und folglich das neue Integral ein- 

 lacher wird als das ursprüngliche. 



Um jlnx.dx zu berechnen, setzen wir 



u=::lnx und v = x. 



Dann ist du=:dlnx — — . dx. 



d V = d X. 



Es wird alsu/lnxdx- / u . d v - u . v- j v . du. 

 Nun ist weiterhin u . v = x . In x. 

 Ferner ist 



/■vdu= /'x . (lx=./'dx"x. 

 -' • X 



Also ist /'udv — xlnx — x = x(lnx — 1). 

 Es folgt also schlieniich 



jhix.dx' xiinx — l)-f ('. 



2. Eine ähnliche rmformung i>f offenbar imn>er dann möglich. 

 wenn unter dem Inte-ralxricheii In \ mit einen» andern Aufdruck 



