376 Egon Eichwald und Audor Fodor. 



multipliziert ist, dessen Integral durch x dividiert, leicht integrierbar ist, 

 z.B. / x-lnx . dx. Natürlich muß auch dv leicht integrierbar sein. 



h^)-Ih 



— dx. 



X 



3. Die Methode der partiellen Integration ist mit Vorteil auch in 

 solchen Fällen anzuwenden, in denen das Differential x als Faktor ent- 

 hält. Dadurch wird, wenn man x = u setzt, du = dx. 



Z. B. /x.e'^'^.dxrrV 



Es werde gesetzt x = u. dv = e " . dx. 



Dann ist dx = du. v = /e*^ dx = — . e*^ 



a 



/x. e''''. dxrr /u . dv=:u . V — /vdu = 



1 1- 1 f 1 '^ Q^^ f 1 \ 



— x.e''^ -/e''^ . dx = — x.e=^^ .e^'^ = x + C. 



a a n, ^ a-'a^a-^ 



4. /x sin X . dx soll berechnet werden. 



Man setzt v = x. Dann ist du = sin x . dx. Also dv =r dx und u =: — cosx. 



Ferner wird /vdu = u . v— ju . dv = — x cos x + j cosx . dx=— x cosx + sin x. 

 Es ist also /x.sinx.dx = — xcosx + sinx. 



5. Besonders deutlich tritt das Prinzip der Methode der partiellen 

 Integration, nämlich die Zurückführung eines komplizierteren Integrals auf 

 ein einfacheres bei dem folgenden Beispiel hervor. Es soll integriert 

 werden: _/ (Inx)^ . dx. 



Man setzt v = (lnx)3 und du=:dx. 



. , , d(lnx)3 dlnx o/, n, 1 j 

 Dann wird dv = ^-j — —. — - — = 3(lnx)2. — . dx und u = x. 



dlnx dx ^ ^ X 



Folglich wird /vdu=:uv — ;/udv = x(lnx)3 — 3/(lnx)2.dx. 



Durch diese Umformung hat man /(lnx)3dx auf das einfachere 



Integral /(Inx)^ . dx zurückgeführt. Dies läßt sich durch Wiederholung 



derselben Operation auf Jlnx.dx zurückführen und dies schließlich un- 

 mittelbar integrieren. 



Es ergibt sich — 3/(lnx)2 . dxrz:--3[x . (Inx)^— 2J0nx)dx] = 

 ^3x . (In x)2 + 6 ./(In x) dx = • — 3 x (In x)^ -f- 6 (x In x— x). 



