MathciiKitisclio Hchamlluiii: liiolo|i,'isclier l'iolilemc. ;J77 



Also wird schliolilicli 



/ (lii \ )^ . dx = \ . ( lii \f^ — ;i x (In X)- + X ( In X — 1 ) + C. 

 In iihnlichor Weise lädt sich nlitrcniein /Vlii \i" . dx dnrrh /ijriirk- 

 führeu auf /diixi" 'd\ Itcreclincii. 



Die Zerlegungsmethode. 



Diese Metliode ist dcshalh von j:röl'ter \\ ichfi^'koit. weil sich durch 

 ihre Benutzung' eine allj^^emeiiie Lüsunf,^ der inte^M-ation von «rehrochciien 

 rationalen Funktionen eririlit. Wir sahen ohen (S. ;iüi>j, dali sich jede 



fjanze rationale Funktion mit Ililtc des Intciji-als /ax".dx = x"+' 



n + l 

 lösen läljt. Jetzt wollen wji- sehen, wie sich i^ehrochcne rationale Funk- 

 tionen integrieren hissen. 



Zuvor suchen wir das Wesen der Methode zu erfassen. 



• I 



1. Es soll intefrriert werden / '■ — . 



'^ ./ X- — a-^ 



Es ist X- — a- = (x + a) (x — a). 



Also ist 



• dx /• dx 



.' x-i— a2 J (x + a)(x — a) 



Wir wollen nun den Ausdruck — in der \N ei.se zerk-'M-n. 



(x + a)(x — a) 



daß zwei Brüche mit den Nennern x + a und x — a entstehen. 



„ . ^ 1 1 x + a — x + a 2a 



Es ist = = 



X — a x + a X- — a- x- — a- 



Also ist = -x— • 



x-^ — a2 2a ^x — a x + a^ 



Daraus folst 



r dx _ ^ r /* 'J^ /* ''^ 1 

 J x2— a2 ~ Yä y X — a J x + a / 



Jedes einzelne dieser Integrale ist, wie wir ohen (8. 372) gesehen 

 haben, leicht nach der Suhstitutionsnietho(h' zu liisen. Vs ist nilmlich 



/ — '■ — =rln(x — a) und / — '■ — — In(x-ha): 

 J X — a . ' X + a 



so daß / '■ — = 7;— |ln(x — a) — Inix + ai| wird. 



J x2 — a-i 2a L ^ ' 



■ dx 1 . X — a 



Oder au( 



/ u X 1 , \ — a 



h / = -— In 



.'x- — a- 2a x + a 



Ermöglicht wurde diese Lösung durch die Zerlegung des im Nenner 



quadratischen P>ruches in die zwei im Nenner linearen Brüche 



^ x2— a- 



und 



X — a x + a 



