378 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Die Partialbruchzerlegung. 



Eine solche Zerlegung nennt man die Zerlegung eines Bruches in 

 Parti albriiche (s. S. 273). Da die Partialbrüche leicht integrierbar sind, so 

 kann also jeder Bruch, der in der angegebenen Weise zerlegbar ist, inte- 

 griert werden. Dies ist nun allgemein der Fall bei allen rationalen ge- 

 brochenen Funktionen, d. h. bei allen Funktionen, welche die Form haben: 



"^ ^ G(x) boX™ + b,x— i + b,x— 2 + .... + b„,_ix + b„.' 



Durch Division von Zähler und Nenner mit bo bringt man den 

 Nenner G(x) auf die Form 



X™ + C-i x™-i + C, x'"-^ + ....+ C„_i X + C„. • ■ 



Wir wollen des leichteren Verständnisses wegen eine spezielle Funk- 

 tion betrachten. Es sei 



f/A_ F0^) _ 4x3+ 4x- — 32X + 52 

 ^^^ ^ G(x) ~ 4x8— 12x-^ 4. 28x— 24 " 



Hier ist der Zähler F(x) dritten Grades. Der Nenner ebenfalls. 



Allgemein sagt man, daß eine Funktion, deren Zähler von gleichem oder 



ax* -f b 



höherem Grade ist als der Nenner, unecht gebrochen ist. Also — '- 



ax- 



ist eine unecht gebrochene Funktion. W^enn dagegen der Zähler von 



niedrigerem Grade ist, als der Nenner, so nennt man die Funktion eine 



echt gebrochene. Durch Division des Zählers durch den Nenner läßt sich 



nun jede unecht gebrochene rationale Funktion, also eine Funktion, 



in der keine Wurzelzeichen vorkommen, zerlegen in eine ganze rationale 



Funktion und eine echt gebrochene rationale Funktion, genau so wie sich 



ein unechter Bruch, z. B. ^-, zerlegen läßt in eine ganze Zahl und einen 



o 



Q Q 



echten Bruch: -^ = 1 + -— • 

 o 5 



Um zu zeigen, in welcher Weise man diese Division vornimmt, 

 verwandeln wir die obige unechte gebrochene Funktion in eine ganze ra- 

 tionale Funktion und eine echt gebrochene rationale Funktion: 



Verwandlung einer unecht gebrochenen ratijonalen Funktion 

 in eine ganze rationale Funktion und eine echt gebrochene 



rationale Funktion. 



4x8 + 4x2 — 32x + 52 _^ 



'^■4x3— 12x2+ 28x — 24 • 

 Um den Nenner auf die Form 



x'^ + CiX"»-! + CaX'»-^ + . . . +Cn.-iX + C, 



