380 Egon Eich wähl nucl Aiidor Fodor. 



F(x) 

 Der echte Bruch laute , . Da die Zähler der Partialbrüche kon- 



(j (x) 



staute sein sollen, so wird 



1. F(x) _ A B 



G(x) ~ X — a X— b' 



wenn G (x) vom zweiten Grade ist. Wenn man nämlich G (x) = o setzt 

 und die Wurzeln dieser Gleichung ausrechnet, die Xj = a und Xg = b sein 

 mögen, so erhält man 



G(x) = (x — a) (X — b). 



Eine ganze rationale Funktion n-ten Grades läßt sich in n solche lineare 

 Faktoren zerlegen (vgl. S. 268). Diese Faktoren erhält man immer, indem 

 man G(x) = o setzt und die Gleichung nach x auflöst. Hierbei gibt 

 eine Funktion n-ten Grades n -Werte (vgl. S. 268) , so daß schließlich 

 G (x) = (x — ai) (x — a,) (x — a,) , . . . (x — &„) wird, wo ai, ag, ag . . . . an die 

 n Wurzeln der Gleichung G(x) = sind. 



Der erste Schritt bei der Partialbruchzerlegung ist also die Auf- 

 findung der Nenner der Partialbrüche durch Auflösen der Gleichung 

 G(x)r=o. Ist G(x) (juadratisch und sind a und b die Wurzeln, so sind 

 die Nenner der Partialbrüche x^ — a und x — b. Um jetzt A und B zu 

 finden, multipliziert man Gleichung 1 mit (x — a) (x — b) = G(x). Man 

 erhält 



F(x) p... A(x-b)(x-a) B(x-a)(x-b) 



Oder 



2. F(x) = A(x — b)-Fß(x — a). 



Jetzt hat man drei Wege, um A und B zu berechnen, 

 I. Die Gleichung 2 ist gültig für alle Werte von x. Setzt man also 

 X = a, so erhält man, da x — a = o wird, 



Ffa) = A(a — b) oder A = -^^. 



a — ^b 



Ebenso erhält man, wenn man x = b setzt, 



Ffb) 



F(b) = B(b — a) oder B 



a 



II. Ein zweiter praktischer Weg ist der folgende: 



Die Gleichung 2 kann nur dann für alle Werte von x richtig sein, 

 wenn die Koeffizienten der gleichen Potenzen von x auf der rechten und 

 linken Seite der Gleichung unter sich gleich sind. 



Ist F (x) = r X + s, so wird 



r X -}- s = A (x — b) -1- B (x — a). 



rx-Ks=r:(A-fB)x — (Ab-f Ba). 



