Mathematische Behaudlung l)ioIügischer l'roblemc. 



3Hf) 



Die Anwendung der Integralrechnung auf die Berechnung von 

 Kurven, Flächen und Rauminhalten. 



Wie wir oben (S. 'M'S) gesehen halien. kann man <'in Intcjrral als 

 die Summe von nnondlich vielen, unendlich kleinen Teilen hetrachten, 

 deren jedes man als ein „Element des Integrals" ansieht. Man spricht so 

 von einem Kurvenelement, von einem Flachen dement sowie von 

 einem Raumelement. In der naturwissenschaftlichen Anwendung spricht 

 man von Zeitelement, Wegelement etc. Ist das Element der zu 

 suchenden (iröße bekannt, d. li. ist das Differential gegeben, so brauchen 

 wir nur zu integrieren, um die Größe selbst zu erhalten. Dies wird hiiufig 

 erst nach einigen Umformungen der Fall sein. Vor allem wichtig ist es 

 aber, die Grenzen des Integrals für jedes Problem richtig festzustellen, 

 da unbestimmte Integrale bei geometrischen Aufgaben meistens noch keine 

 Lösung darstellen. 



Wie dies geschieht, wollen wir zunächst an der Aufgabe betrachten, 

 die Länge einer Kurve zu berechnen. 



Fig. 163. 



Die Länge einer Kurve. 



Es sei F'G (Fig. 163) die Kurve, deren Länge L man berechnen 

 will. Um das Element dL zu bestimmen, betrachtet man das rechtwinkelige 

 Dreieck ABC, das entstanden 

 ist, indem man durch B eine 

 Parallele zur x-Achse, durch 

 den benachbarten Punkt A eine 

 Parallele zur y-Achse zieht. 



Dann ist AU=rAy: BC = Ax; 

 A B werde mit A L bezeichnet. 

 Durch Anwendung des pythago- 

 reischen Lehrsatzes erhält man: 



AL2 = Ax24- Ayl 



RückeH jetzt die beiden 

 Punkte der Kurve A und B 

 unendlich nahe aneinander, so 

 wird A B das p]lement der 

 Kurve = d L. AC wird dann 

 gleich dy und BC = dx. 



D D 



Folglich ist 



dP 



dL2r=dx- + dy- oder 





Folglich ist L=jdx 1/ 1 + 



^V' 



d yy 



Abdsrhkiden, Handbuch der biocbomiachan ArbciUmethodea. l.X. 



:if> 



