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Egon Eichwald und Aiulor P'odor. 



Mitunter ist es bequemer, eine etwas andere Umformung zu wählen, 

 nämlich 



dL = |/dx-^ + cly^ = dy^/f^]' + l 



dp 



L=^y|/l + (^J■ 



Fig. 164. 



AVir wollen nur zwei Kurvenlängen berechnen, die der Parabel und 



die des Kreises. Die Kurvenlänge des Kreises ist zwar aus der niederen 



Mathematik bekannt, indessen ist es von Vorteil, auch solche relativ leichte 



Fälle mit den Methoden der höheren Mathematik zu lösen, da hieran 



die Prinzipien der Methode besonders übersichtlich sind. 



1. Wie groß ist die Kurvenlänge der 



Parabel y2 = -2px zwischen dem Koordi- 



natenanfaugspunkt und dem Punkt Xj ; 



y, ? (Fig. 164.) 



Es ist 



^ , ., dx V 

 2ydy = 2pdx. Also -j- = -'—. 

 J J '^ dy p 



Folglich ist in der Gleichung 



=.ßyV 



1 rdxy- 



L = /'dv. |/l +^=— /dylV + y^ 



J ^ r p2 p./ . r X 



Die Lösung dieses irrationalen Integrals würde uns hier zu weit 

 führen. Sie lautet: 



^"T [^ |/pM^+^in(y + \'¥Tri- 



Dies ist die Länge der Parabel. 



Im allgemeinen führt die Berechnung von Kurvenlängen auf schwie- 

 rigere Integrale als die Berechnung von"^Flächen, weil unter dem Integral- 

 zeichen Wurzeln auftreten. Um aber wenigstens noch an einem Beispiel 

 das Wesen der Methode zu erläutern, wollen wir den Umfang des Kreises 

 berechnen. 



2. Die Formel des Kreises lautet x^ + y^r^r^. Der Mittelpunkt des 

 Kreises ist dann der Anfangspunkt des Koordinatensystems. Es wird dann 



y2 = r2- 



X-. 



y = |/l- 



X' 



dy 

 dx 



d|/r2^x2_d(r2— x2)2 dir'— x2)_(r2— x'-) -.— 2x_ 



dx 



d(r2— x2) dx 



2 



yr^ 



X' 



