Mathematische Behainlliiiig biologisclipr l'robk'iiK 



:;9i 



o. Ziun Sfliliili wulleii wir, iiiii die Uequeinlichkcit zu /ci^M'ii . 

 der man iiiittcis dor Intotjnilri'clmiiii.u' selbst schwieriLMTe Kraj^'cn löst, 

 Fläche berechnen, die von der Lenmiscate ^M-bildct wird. I)ie Gestalt 

 Lemniscate zeigt Fiy;. ITl. Ihre (ileichnnji:, die wir hier alsge}.'eben 

 aussetzen, lautet 



r- = a-cos(2 9J. 



Hier ist die Gleichung in Pdlarcoordinaten dar^n'stellt. r ist 

 Radiusvektor OA, o ist der Winkel, den der Kadiusvektor OA mit 

 X-Achse bildet. Die Gleichnni^' erlaubt, für einen gegebenen Winkel o 

 zugehörigen Radiusvektor r zu bei-cclineii. Für o =r o ergibt sich cos (29) 

 und r- = a-, d.h. a ist gleich OR oder Ol»,. Für = 40" ist cos'2"/l 

 und r = Ü, d.h. die Kurve geht durch deu Koordinatenanfangspunkt. 



mit 



di.- 



der 



vor- 



der 



der 



den 



= 1 



= 



Kig. 171. 



Fig. 172. 



Wir mü.ssen nun. bevor wir die vorliegende spezielle .Vufgabe lösen, 

 erst die allgemeinere auffinden, aus der (ileichung einer Kurve in l'olar- 

 koordinaten den von ihrem Iiadiusvektor beschriebenen Flächeninhalt 

 ÜABCO zu berechnen (Fig. 172). 



Betrachten wir ein Flächenstück zwischen den beiden benachbarten 

 Punkten 15 und Bi, so kann man BOB, als Teil eines Krei.ses auffassen, 

 falls B und l), hinreichend nahe beieinander liegen. Der Inhalt t]r< Kri-is- 



Sektors ist aber gleich — r- . o, wo o der Zentriwinkel ist. liier ist o = A7-. 



so daß BOB, =— r-.Ao wird. Eiuentlicli ist (> F. 1> = — r- Ao, da wir 



das Dreieck BDB, als unendlich kleine (Jröl'.c höherer Ordnung vernach- 

 lässigen können, sobald der Sektor B, OB unendlich klein. Ay al.so gleich 

 dem Element des Winkels do wiid. Dann wird das Flächenelement 



dF = — r-.do und die Fläche F zwischen den (Jrenzen 9, und 9«: 

 2 





