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Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Sobald man also r als Funktion von 9 kennt, ist es nach dieser 

 Gleichung möglich, F zu bestimmen. 

 Der Inhalt der Lemniscate. 

 Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück. 

 Es war r- = a- cos (2 ©). 



Also ist F = —- 1 ü- cos (2 9) d 9. 



Setzt man 2 o = t und -d 9 = — dt, so wird 



r 1 /" 11 



/ cos (2 9) d 9 = — / cos t . dt = — sin t= — sin (2 9). 



Fol 



a r 

 glich ist F = — - sin (29) 



Wir berechnen jetzt F innerhalb des I. Quadranten (Fig. 171). Die 

 Grenzen sind hier offenbar 9 = und 9 = 45". 



m (2 9) 1 ' ' " *'"= 4- (sin (90°1 — sin 0« W 4^. 

 J9, =0 4 \ / 4 



Der Inhalt der ganzen Lemniscate' ist 4mal so groß, also J = a-. 



Also wird — 



Fig. 173. 



c 



A 







H 



F 



Noch in einem andern Fall ist es möglich, die Berechnung einer 

 Fläche statt durch doppelte Integration durch ein einfaches Integral zu lösen, 



nämlich bei der Berechnung der 

 Mantelfläche eines Rotations- 

 körpers. 



Es sei in Fig. 173 CG die 

 Kurve y = f (x), durch deren Rota- 

 tion um die x-Achse der zu be- 

 rechnende Körper gebildet wird. 

 Dann ist die Mantelfläche des Kegel- 

 stumpfes ABCD gleich 



7T('AE + CFj.AC. 

 Hier ist A E = y. C F = y + A v ; 

 AC = AL. 



AL ist die Länge des Kurven- 



^ Stücks AC. Rücken die Tunkte A 



und C unendlich nahe aneinander, 



so wird M(ABCD)=:dM, also das Element des Mantels. Ay wird dann 



gleich dy und A L = d 1. 



Folglich wird d M = 7: . (y + y + dy) . d 1 = 2 - y . d 1, unter Vernach- 

 lässigung der unendlich kleinen Größe zweiter, Ordnung dl.dy. 

 Die Integration ergibt 



M--^2-./'ydl. 



B 



