Mathematische Behanilluiig biologischer Prohh-me. 



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Ist y=:f(x), so miil) man ziii- Ausi'iihrunfi: der IiitOLM'afion dl ehen- 

 talls als Funktion von x darstellen. Wie wir bereits oben salion, ist 

 d 1 = |/dx2 + dy^. 



Beispiel: Die rotierende Kurve sei eine l'araliel: v-=ri>[)x. 



Dann ist M=27:./\vdl = 2?: /j i» px dl. 



d I-^ = d X- + dy2 rr d X- + -^ d x- : da 2 v d v - 2 i) d \ und 



y2 . . 1 



folirlich dy — -^.dx ist. Weiterhin wird 



dl = — I P'' + V-. Demnach wird 



y 



M = 27:/ydl = 2TC/| p2 + ynlx = 2Tr./j/p2 + 2px .dx. 

 Zur Lösung dieses Integrals, in dem jetzt nur noch \ unter dem 



t 



Integralzeichen vorkommt, setzt man |^p- + 2px = t. 



Dann ist p^ + 2px = t- und 2pdx = 2tdt oder dx = — .dt 



P 



Foliilich wird 



0P-+2PX . d X Tt . — dt = j— . dt = ;v^ t3 = J- I (pe + 2px)3. 



' p -^ p :> p 8 p ' ^' ^ '^ 



Demnach wird die Mantelfläche des Rotationsparaboloids: 



Berechnung des Volums von Rotationskörpern. 



Die Berechnung des \'olums eines Körpers erfordert im allgemeinen 

 Fall eine dreifache Integration. Im Falle von Rotationskörpern jedoch, d. h. 

 solchen Körpern, die durch Rotation einer Kurve \=zi{x) um die x-.Vchse 

 entstanden sind, läßt sich die Berechnung auf eine einfache Integration 

 zurückführen. Ks wird nämlich iFig. 174) das N'oluni des Kegelstumpfes 



BC"B,C., = -^ (BBi'^ + CCi^) . B, c\. IUI, ist aber =y; CC, =:y + A\ ; und 



B,C, =d.x. " 



Folglich BrB„C., = AV= 4-lv- + (v + Av)0 A\. 



Geht man jetzt zur (Jrenze über, so wird unter N'ernachlässiirung 

 von unendlich kleinen Cirößen höherer Ordnuntr 



TT 



dV = — .2y-.d> 



Folglich V^r/V-dx. 



