Matheniatisclic Beliandlunf: liiologischcr l'roljleiiip. jjür, 



In iiliiilicli oini'iichcr Weise er«roben sich die Inhalte anderer Kuta- 

 tionskürper, so des l(otationsellipsoi(h'S und des raraboloides. 



Da bei diesen Körpern y- eine rationale Funivtion von' \ ist. so ist 

 V = x/y'-dx stets ein leicht lösbares Integral. 



Daraus erj^^bt sich die be(|ueniere lierechnunji der Voluiniidialte von 

 Rotationskörpern verglichen mit den oben dargelegten l)ereclinnnj.'en von 

 Kurvenlangen, Oberflächen etc. 



VI. Kapitel. 



Bestimmte Integrale. 



Wir hatten schon früher hei den geometrischen und physikalisch- 

 chemischen Anwendungen zahlreiche bestimmte Integrale berechnet. Dies 

 geschah, indem wir in die Funktion, die wir durch Integration gefunden 

 hatten, die Grenzwerte einsetzten. In einer Reihe von Fällen- will man aber 

 ein bestimmtes Integral kennen, ohne dal) es möglich ist, das unbestimmte 

 Integral aufzufinden: sei es, weil die Integration nicht ausführbar ist oder 

 weil auch die zu integrierende Funktion nur näherungsweise als empirische 

 Formel bekannt ist. In diesen Fällen hilft man sich durch sogenannte 

 Näherungsmethoden, mittels deren man das bestimmte Integral inner- 

 halb der festgesetzten Grenzen berechnen kann, ohne seinen 

 algebraischen Ausdruck zu kenneu. 



Devor wir die wichtigsten der hierfür in Betracht kommenden Me- 

 thoden besprechen . wollen wir kurz noch den Fall erledigen . daß eine 

 Differentialfunktion an den (Jrenzon oder zwischen den (irenzen. inner- 

 halb deren sie integriert werden soll, unstetig wird. d. h. tien Wert cc 

 annimmt. In solchen Fällen kann das Integral trotzdem einen endlichen 

 Wert annehmen. Praktisch ist es stets von größter Bedeutung, solche l'n- 

 stetigkeitsstellen der Differentialfunktion zu beachten, da der Wert eines 

 bestimmten Integrals vollkommen falsch werden kann . wenn man über 

 solche Stellen nach den gewöhnlichen Kegeln hinweg integrieit. 



W'ir betrachten zunächst das*lntegral /-^ 



l.\ 



=: oo. 



Für X — b wird | b— x = o und folglich i'{\)=-rT== 



|b X 



Für den Punkt \ h ist al.^o die Integration nicht gültig. Trotzdem 

 hat jedoch das Integral zwischen den (irenzen b und a einen endlichen 

 Wert. Statt bis b zu integrieien, führt man die Integration bis b .': au.<, 

 wo ß beliebig klein und im (irenzfall =<» wird. 



Dann ist /f'(x)dx=/f'(x) dx. 

 [lim ^ = 0] " • 



