Matliematiscilc Bchaiidluiig biologiscluT l'roliliini-. 39<) 



(• dx 



Nach 12, S. 372, ist / , ^ =arc tj? 



Aiulrerseits läßt sich — in Ilcihcii i-iitwickclii. falls \-<'l 



1 + X- ^ 



(s. S. 343j. 



Es wird = (1 + X-)-' = 1 — x-^ + x* — x« + xV . . ( nach .lern 



1 + x- 



l)iuomischen Lehrsatz). Daraus folgt: 



y-j-^=jdx--/x-^dx+./'x^dx -j'x'>dx+jx^dx+ ... +C. 



L'ud weiterhin 



x3 xf' X' X» 

 arc tg x = x-- + --- + -g- . . . +C. 



Wenn x=:(J ist, so ist auch aretgx = 0. Also ist die Konstante C=0. 

 Demnach ergibt sich die bereits von Lcibniz entwickelte iteihe: 



X* X'' X' x^ 



Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, daß sie eine bequeme Be- 

 rechnung der Zahl tc gestattet. Ist nämlich x = l, so wird arc tg I^-t-. 



4 



d. h. der Bogen, dessen tg=:l ist, entspricht einem Winkel von 4r)'\ Es 

 ergibt sich also: 



arctgl = -=l-- + ^-- + -^... 



In ähnlicher Weise las.sen sich offenbar alle Integrale nidicrungsweise 

 berechnen, die nach dem binomischen Lehrsatz in Reihen cntwickclbar 

 sind, immer unter der Voraussetzung, dali die vorgelegte Leihe innerhalb 

 der Integrationsgrenzen konvergent ist. 



, • dx 



Als Beispiel sei noch weiteriiin die Inlcgration von / an- 



geführt. 



1 -- 



Es wird = (] — \2) -. Dies iribt n.icli ileni binoniisclicn 



[l — X- 



Lehrsatz: 



,-| , 1 X- l a x^ 1 3 5 X« , 



