Mathematisclie Bcliaiullmi;: biologischer l'riil.lcnic 



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Als Schluü unserer l'etrachtunj^en über hestiiniiitc Integrale wollen 

 wir noch eine häutig benutzte praktische Hegel zur Ausnnttlung be- 

 stimmter Integrale erwähnen: das 



Auswä<j:en 



eines 



Flächenstiickes. 



Vm in Fig. 182 das Integral 



b 



Jydx zu ermitteln, schneidet man 



a 



die Fläche AA' HB' aus und wiegt 

 sie auf einer genauen \Vage. Man 

 finde lOirJ'd-icf. Dann bestimmt 

 man das (Jewicht von lern - des 

 Papiers = 2o342 g. Dann ist. wie 

 ohne weiteres klar ist, 



10-52;)4 



Jyd.x = 



4-1Ö25Ö. 



Fig. 1B3. 



2-5342 

 Man hat also nichts weiter zu tun. 

 als sich die Kurve y — f'(x) mög- 

 lichst genau und in möglichst großem Maßstab aufzuzeichnen. Zu achten 

 ist dabei natürlich auf die bei der Zeichnung benutzten Einheiten. Ob- 

 wohl eine größere (ienauigkeit so nicht erzielt werden kann, ist das Ver- 

 fahren trotzdem in manchen Fällen sehr wohl zu verwenden. 



VII. KAPITEL. 



Mehrfache Integrale. 



Wir hatten das Integral / f (x) d x r=/ ydx als die Summe von un- 

 endlich vielen, unendlich kleinen Teilen betrachtet, deren jedes gleich 

 f'(x)dx ist. Wenn nun diese Summe ebenfalls wieder unendlich klein ist. oder 

 mit anderen Worten das Differential einer zweiten Variabeln dy darstellt, so 



läßt sich offenbar nochmals über dy integrieren. Ist / ydx=:f(\i und ist 

 weiterhin f (xj = <p'(x, y)dy, so lautet das zweite Integral 



/<p'(x, y)dy = <p(x, y). 



Natürlich war hier bereits f'ixi eine Funktion von x 

 li. von zwei \'ariabeln abhängig. Es ist also: 



und von v, 



'O'Ö- 



/)>(x, yjdx . dy == jdyj'ffx, y)dx = jVix, yi . dy =(?(x, y). 



Man nennt dies ein Doppelintegral. 



Bei der Integration von /fix, yidx wird y als Konstante be- 

 trachtet. Ebenfalls natürlich dy. Ebenso auch Itehandclt man i>ei der 



Integration von /f'(x, y)dy sowohl \ wie auch d\ als konstant. Man 

 kann deshalb das Doppelintegral nach l'.elieben auflösen, indem mau zuerst 



