408 Egon Eichwald und Audor Fodor. 



Über dx und dann über dy oder zuerst über dy und dann über dx 

 integriert. Also 



JJi' (X, y ) d X d y = /d y/f ' (x, y) d x = 9 (x, y). Oder 

 JJi^ (X, y) d X d y = i d x/ f (X, y) d y = 9 (x, y). 



Beispiel: Es soll jj(ax2 + by)dx dy gebildet werden. 

 Es ist 



j}>x2 + by)dx.dy = /dy/(ax2 + by)dx=/dy[-^ + byx] = 



_ayx3 by2x 



Oder auch 

 jJ(ax-^ + by)dx.dy=/dx/(ax2 + by)dy=/dx[ax2y + ^] = 



axsy bv-x 



- + 



9. 2 



o 



also dasselbe Resultat wie oben. 



Wir wollen noch die Richtigkeit des erhaltenen Wertes durch 

 Differentiation nach dx und dy bestätigen. Es muß sein 



d<^+^>"" 



dx dy 

 In der Tat ist 



-, raxsy by^x 



d — r^+ ^ 



^^-^=iax2 + by. 



3 ' 2 J , , bV- , 



ax'y H — f— und 



dx '2 



<-'^ + ¥] 



-, = a x2 + b y. 



dy 



In ähnlicher Weise lassen sich drei- und mehrfache Integrale defi- 

 nieren und durch sukzessive Integration berechnen. Da der Raum drei 

 von einander unabhängige Koordinaten hat, so kommen besonders dreifache 

 Integrale in den Naturwissenschaften häufig vor, z. B. in der Mechanik 

 und Elektrizitätslehre. Wir wollen noch ein dreifaches Integral berechnen: 



i}J(3x3 + 4x2.y.z)dxdydz=? 

 Es ist 



j}}'(3x» + 4x2.y.z) dx.dydz=jjdy.dz/(3x3 + 4x2.y.z)dx = 

 //'dy.dz[-^x* + -|-x3.y.z]=j'dz(^x*.y + -|-x3y2z] = 



