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Hierbei ist imii aber foltreiides noch zu beachten. l)a es sich bei den 

 Anwendungen stets um bestimmte Integrale handelt, also sowohl x, und x, 

 wie auch y, und y, sowie die 



höheren Koordinaten z, und z, '■'" *'*^" 



festgelegt sind, so muß man bei 

 mehrfachen Integralen sehr sorg- 

 faltig auf die Festlegung der (Irenzen 

 achten, da sonst große Fehler ent- 

 stehen können. Wir wollen, um dies 

 genau zu verstehen, auf die geometri- 

 sche Bedeutung des Doppelintegrals 



b=.^ d=y, 



/ J f(x,y)dx,dy zurückgehen. Es 



sei''' in ipig. 1 83 A B C D A, B, C, D, 

 ein unendlich kleines Parallelepi- 

 pedon. AB sei gleich dx und BB, 

 gleich dy. Dann ist die Grund- 

 fläche ABAiBi^dx.dy. 



Jetzt soll AD = z = f(x, y) 

 sein, d.h. die Fläche z = f (x, y) 

 bildet die Decke des Körpers, dessen 

 Basis die x, y-Ebene ist. f (x, y) 

 variiert hier sowohl mit x wie auch 



mit y. Betrachten wir nun den unendlich schmalen Streifen ABAoB, — ydx, 

 so wird hier f(x,y) = z nur mit y variieren, da x konstant bleibt. Folglich 

 kann man dx/'f(x. v)dy bilden, als ob x konstant wäre. Dies Integral 

 stellt den unendlich schmalen Körper ABAoB^CjDoDC dar. Indem man 

 nun die Summe dieser Streifen längs der x-Achse bildet, also über x 

 integriert, erhält man das \olumen des Körpers, der überdeckt wird von 

 der Fläche z = f(x,y), dessen Basis die x, y-Ebene ist und dessen Vorder- 

 und Rückseite die Flächen y~yi; y = y« und x = x,; x=:x, sind. 



Bei der zweiten Integration, also bei jdx / f (x,y) dy ist jetzt die Be- 



»1 Ji 



achtung der Grenzen y„ und v, von Bedeutun 



Das Integral /'f(x,y)dy wird aufgelöst im allgeniciiicn sowohl \ wie 



y, 



y enthalten. Ist jetzt y, und y, konstant, so enthält das zweite Integral 



X. 



/nur noch x, da man y (iurcli steine konstanten (iri'n/en ersetzt bat. In 



X 



diesem Fall kann man sofort integrieren. Anders jedoch, wenn die 

 (irenzen y., und y, nicht konstant sind, sondern ihrerseits abhängig von x: 

 wenn also der betrachtete Köri)er vorne und hinten nicht durch eine Ebene, 

 sondern durch irgend eine senkrecht auf der x, y-Ebene stehende Fläche 



