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Egon Eichwald und Aiidor Fodor. 



begrenzt wird. Dann ist je nach dem Werte von x auch der Wert voii ydx, 

 also der Inhalt des Streifens ABAgBo, verschieden. Ersetzt man jedoch js 

 durch ©2 (x) und }\ durch 9^ (x), Ausdrücke, die sich leicht aus der Gestalt 

 der begrenzenden vorderen und hinteren Ebene bestimmen lassen, so erhält 



man /f(x,y)dy ausgedrückt durch die einzige Variable x. Jetzt kann man 



das zweite Integral _/ dxj f(x,y)dy bilden nach den stets geltenden Regeln. 



Dieses Verfahren ist stets nötig, wenn die Grenze }<, und yi ihrer- 

 seits Funktionen von x sind. Wir betrachten einige Beispiele von doppelten 

 Integralen; solche, bei denen y^ und yi konstant sind, und solche, bei 

 denen sie von x abhängig sind. • . . 



Beispiele: 



1. Es soll die Masse eines Rechteckes bestimmt werden, wenn die 

 Bedingung gegeben ist, daß die Masse proportional dem Abstand von der 

 Grundlinie zunimmt. 1) 



Es sei OABC das Rechteck, dessen Masse gesucht wird (Fig. 184). 

 Die Basis A sei gleich a. Die Höhe C = b. sei der Anfangspunkt 



des Koordinatensystems. Dann ist die 

 Masse eines Flächenelementes dx.dy. 

 M=:[j..dx. dy. Hier ist |j. die Ein- 

 heit der Masse an dem betrachteten 

 Punkt D. Da [j. proportional der Höhe y 

 sein soll, so ist y. = 7.y. Die Konstante 7. 

 ist die Masse in der Höhe y = l. Setzt 

 man fy- = ah = 7.y in die obige Gleichung 

 ein, so wird das „Massenelement" 



d M = a . y . d X . d y und 

 M=/' /a.y. dx.dy. Es wird 



X2=:a y2=h X2=a yj^h Xj=a 



./■ ,/a.y.dx.dy = a/dx./y.dy = — iVf.dx. 



Xi=0 y,=0 x,=0 y,=o -^ x,=:0 ° 



Hier sind die Grenzen von y konstant und unabhängig von x. 

 Es wird 



Fig. 184. 



Xj^a 



ah-^ 



M = -^jh^dx = — - 



^ x,=0 ^ 



2. Wir wollen ein ähnliches Beispiel betrachten, bei dem aber die 

 Grenzen von y nicht mehr unabhängig von x sind, sondern davon in Ab- 

 hängigkeit stehen. 



*) Vgl. Nernsf, Schönfließ. Dritte Auflage. S. 168. 



