Mathematische Behandlung hiologischer Pruhlemo. 



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Es soll die Masse einer Kreisfläclie bererliiiet werden unter der 

 VoraussetzunJ,^ daß die Masse proportional mit dem Abstand von einem 

 Durchmesser zunimml. 



Der Durchmesser werde zur x-Achse des Koordinatensystems <:cmaclit. 

 Dann ist wieder die Masse des Fläehenelementes dx.dy 



d M -^ -x . d X . d V. 



Auch hier soll sein \^.— x.\. wo a die Masse im Abstand v- 1 von 

 dem Durchmesser ÜB ist. 

 Es wird also 



M = /7a.y. dx.dy. 



Hier ist jetzt aber y., und yi abhiuii^ig von x. 

 Es ist x2 + y2 = a2 oder y^zzia^ — x^. 



y, wird stets gleich 0. y., berechnet sich nach der angegebenen 

 Gleichung. Jetzt wird 



M=-rdx 





Folglich 



Retrachtet man nur den 1. Quadranten, so wird Xi = o; x., — a 



4 



7. 



7. .a» 



IT" 



Oder M=:— -a.a». 



o 



Hätte man weiter integriert, ohne die Abhängigkeit der (Jrenzen 

 y^ von X zu beachten, so hätte man erhalten: 



~ ^' r a V'' \ 1^'' ^' 



M = -«-/y^dx=p^ 



Der äußerste Wert von y^ ist offenbar (Ing. 185) y., r=OF — a. 

 X., ist ebenfalls gleich a. .Mso wäre 



M 7 



——=:-—-. a» und M = 2a.a* 

 4 J 



ein gänzlich falsches Kesultat. 



An der Hand der Figur ist es nicht schwer, sich über den gemachten 

 Fehler klar zu werden. 



Wie bei den einfachen Integralen, so ist es auch bei der Lüsung 

 mehrfacher Integrale häufig von \orteil. durch 8ul)stitntion neue Ver- 

 änderliche einzuführen und dadurch das Integral auf eine becpiemere Fonn 

 2U reduzieren. Aber während bei den einfachen Integralen diese Substitution 



