412 



Egon Eichwald und Andor Fodor. 



sich sehr leicht bewerkstelligen ließ, muß hier die sogenannte „Funktional- 

 deterrainante" beachtet werden. Auch müssen die neuen Grenzen 



Fig. 186. 



Figr. 185. 



richtig gewählt werden. Wir wollen zunächst zusehen, um was es sich bei 



'e ö 



der Funktionaldeterminante handelt. 



b 9/2 (x) 



Wenn das Doppelintegral / / f (x, y) d y . d x gelöst werden soll, wo die 



Grenzen für y von x abhängig sind und gleich 92 W und <pi (x), so laute 

 die Substitution: 



x = fi(u,v) und y = f2(u,v). 



u und V sind jetzt die neuen Veränderlichen. 



Wir betrachten das Doppelintegral als Volum eines Körpers, der 

 oben von der Fläche z = f (x, y) begrenzt wird. Die Basis ist die X Y-Ebene 

 und das Element dieser Fläche ist gleich dy dx (Fig. 186). Durch die an- 

 gegebene Substitution wird 



z = f (x, y) = f [f 1 (u, v), U (u, v)]. 



Betreffs f (x, y) bietet die Substitution also keine Schwierigkeiten, 

 wohl aber wegen der Berechnung des neuen Flächenelementes. Dieses ist 

 keineswegs ein Rechteck, also nicht gleich d u d v, sondern muß als Vier- 

 eck A Ai A2 x^g berechnet werden , wo A A^ und A2 A3 zum System der 

 v-Koordinaten , A A^ und A^ Aj zum System der u-Koordinaten gehören. 



Die Koordinaten des Vierecks AAjAjAj sind bekannt. Sie lauten: 



Für A: u und v. 

 Für Ai : u + du und v. 

 Für A2 : u und v + dv. 

 Für A3 : u + du und v + dv. 



Sind nun diese Koordinaten in dem alten System x, y gegeben, so 

 läßt sich ohne Mühe der Inhalt I des Viereckes AAiAjAj berechnen. 

 Offenbar sind diese Koordinaten: 



