Mathematische Behandlung biologischer rrohlonu 



4i;'. 



Für A: X und } (x, y) 



Ox av 'j'^ 



Für A,- \+— ^duuudyH — ^ . du id. b. \ ändert sich um — dui (x, Vj) 

 au au Ou ■ 



Ox . , ov . 

 Für A, : x H . dv und y + -^ . dv 



ov av 



Für A, : x + — dv + -^ du und y + -/- . dv + -^ . du 



* 3v au " av au 



^x« y,) 

 IX. y,) 



Sind die bezüglichen Koordinaten A(x; y) Ai(Xi; y,) Aj(x,: y,) und 

 AsCxjiys), so wird nach der Formelsammlung: 



AAi A, As = 1 = 4" [^(y^— y«) + ^^ ^>'3 -y^ + ^z(}\—yi} + x-(y-y,j] 



= i- [(X3 - X) (yo -y, ) — (xj - x,) (ys -y)]. 

 Als Determinante geschrieben, ergibt dies: 



2 j — - Xj x, X2 Xi 



ys- y, y«— yi 



ax , ax , 9x j , ^x j 



Es ist aber x,-x=:x + — dv + — . du -x^:— dv + — du. 



Ersetzt man ebenso die anderen Ausdrücke der Determinante, so 

 ergibt sich: 



2J = 



Subtrahiert man Kolonne 11 von Kolonne I, so wird 



2 1 = 



ax , ax , 3x j 

 2 — du, — dv — —du 



au Ov Ou 



^ ay , Ov , Oy - 

 2^^ du, -^dv — -^.du 

 au av au 



= 2 



Ox , Ox , ax , 

 — du, — -dv— -T-du 

 Ou av du 



Ov 



Ov 



ay 



-^du, -i^dv r^du 



au dv au 



Jetzt addiert man Kolonne I zu Kolonne II. Es wird 



1 = 



du, — dv 



av 



du, — dv 



' av 



au 

 av 



au 



fd\ ay ax ay^ 



Dies ist das neue Flächenclement. Es ist = du . dv multipliziert mit 



Ox ay ax dv 



der Funktionaldeterminante— TT liTT- 



au av 3v au 



