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Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Es wird also schließlich 



b <fi(^) d f 



/ji(x,y)dy(ix=3 jjf If, (u,v), f, (u, v)l [ 



a ?i(x) c e -" ^ 



3x Oy 9x dy 



3u av 



9v 3u 



du . dv. 



Fig. 187. 



Die Grenzen c, d, e und f sind passend zu bestimmen. 

 Wir wählen sofort ein Beispiel: 



Es soll die Masse eines Kreises vom Radius a berechnet werden, 

 unter der Voraussetzung, daß die Masse proportional dem Abstand vom 

 Mittelpunkt zunimmt. 



Es ist in Fig. 187 die Masse 

 des Flächenelementes gleich fx dx . dy. 

 Es soll aber sein [;. = ar, wo a die 

 Masse im Abstand 1 vom Zentrum 

 des Kreises ist, der zugleich Mittel- 

 punkt des Koordinatensystems ist. 

 Es ist folglich: 



d M = ar . dx . dy. 



Nun ist r~ = x- + y-. Folglich: 

 d M = a |/x2 + y2 . dx . dy und 



In diesem Doppelintegral sind 

 die Grenzen von y abhängig von x ; 

 und die Lösung gestaltet sich ziem- 

 hch schwierig. Sie wird jedoch 

 leicht, wenn man Polarkoordinaten 



einführt durch die Substitution (vgl. Formelsammlung) : 



x=:rcos9; y = rsin<p. 



3x 



Es wird M = 7.fJ \/r- cos^ 9 4- r- sin^ 9 



3x 3y 



9y 



3X 3v 



3r 3^) 



3-3 3r 



dr . d9. 



Jetzt ist: 



3r 



9y 



cos 0. 



sin 9. 



3'X( 

 3x 



r cos 9 



r sm 9. 



dr "" " ' 39 

 Die Funktionaldeterminante wird also 



3x 3y 3x 3y 



rcos2 9 + rsin29 = r (sin2 9 4- cos2 9) = r. 



3r 39 39 ar 

 Also M = ^fjyr'^ (sin 2 9 + cos- 9) . r dr . d© = y-./Jr^ , dr . d« 



®. 



Hier sind die Grenzen von r unabhängig von 9. Sie lauten r=:a 

 und r = o. 



