Mathematische Behandlung biologischer Prohleme. 41,') 



2 71 2.1 



Also U = yj'dofr^.dT=-T U^.\r'X = ^'^ /.l9=i^. 



o o 



Die Erleichterung in der Lösung des Doppelintegrals ist hier ganz 

 augenscheinlich. 



Ein wichtiges Integral , das besonders in der ^Vahrscheinlichkeits- 

 rechnung von Bedeutung ist, und dessen wir später i)edürten, ist das l»e- 



stininite Integral 



+ 00 



je— Mx = ? 



o 



Man löst es durch einen Kunstgriff, indem man die (irenzen .\^ 

 zunächst durch die endliche Grenze a ersetzt und das Integral mit einem 



b 



ähnlichen Integral multipliziert. nämlich~mit / e-J'dy: Es wird 



o 



+a +b ab 



fe-^'d\ .J'e-y'dy =J'J'e-^^'+y'^ dx dy. 



"0 o 



Dies ist das Doppelintegral von e~"(''''+y'^ über ein Uechteck mit den 

 (irenzen x^ =: ; X2 = a und yi = 0; y^ = b. 



-|-a +00 



Bezeichnet man /e-^*dx für hma=:c», alsoje-^'dx mit I, so wird, 



o o 



+b 



da auch j'e-J-dy für lim b — 00 den Wert I erhält: 



o 



a b 



/Je-(-*+y*>dx.dy = P 



lim'a = oo 

 lim b = 00 



Dieses Doppelintegral ist aber leicht durch I'olarkoordinaten zu lösen. 



1- ^ 



um r^::oo — 

 o 



Es wird 1-= ffQ-v^ . r^r . do. 



o o 



(Da für a = co; b = co das Doppelintegral den ganzen I. (^)uadranten 



umfalit, d.h. ri = o; r« — lim 00; 91=0; 9., = -^ ist. r ist der Wert der 



Funktionaldeterminante (vgl. S. 413\ 



Jetzt integriert man zunächst über o. Es wird: 



r r 



1- =9 T / e~'' . rdr =-^ h'~' ■ *"'''• 



Um das noch vorhandene Integral zu lösen, setzt man r- - \. 

 Also 2rdr = dx und e- "^^ rdr=:— -e""^' . dx. 



