416 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Demnach : 

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TT r - TT 



-iliia r = oo ^ 



X — 



Jo 4 



Alim r := oo 



Da 6-^ = 0; e-° — l ist. Also — [e-^J =0+1 = +1. 



Folglich wird I = — [/';r oder 



o ^ 



Integration vollständiger Differentiale. 



Die Integration eines einfachen Integrals hatten wir definiert als 

 die Umkehrung einer Differentiation. Ebenso läßt sich die Lösung eines 

 mehrfachen Integrals betrachten als die Umkehrung einer Differentiation 

 von zweiter oder höherer Ordnung. Wir hatten aber früher in der Diffe- 

 rentialrechnung noch eine andere Gruppe von Ausdrücken untersucht, 

 nämlich die totalen Differentiale, die definiert werden durch die Gleichung 



-,, , af(x,y) - , öf(x,y) j 



d f (x, v) = ^^A^ (L\ -] ^-^-^ dy. 



^ -^ ax 3y -^ 



Bezeichnet man die partiellen Ableitungen — ^-^ mit fj und — ^jlH 



mit fg, so wird df(x,y) = fi . dx + fody. 



fj und fg sind ihier Funktionen sowohl von x wie auch von y. 

 Das Umkehrungsproblem würde also lauten, 'eine Funktion f(x, y) 

 von x und y aufzufinden, deren partielle Ableitungen lauten 



— ^-!-^=f, und — —^ =f, oder deren totales Differential lautet: 



öx 3y - 



df(x,y) = fi.dx + f. .dy. 



Da fi und f'a partielle Ableitungen derselben Funktion f(x,y) 

 sind, so stehen sie in einem durch die Bildung ihrer Ableitungen auffind- 

 baren Zusammenhange. Es muß offenbar sein: 



/f(x,y) 3 af(x,y) 



9x 9y ,, 9f, 3f, 



— ^ Also ^ — 



9y 9x 9y 9x 



Wie sich beweisen läßt, ist nur unter dieser Voraussetzung die Inte- 

 gration des Ausdrucks fj dx + fg dy möglich, d. h. nur unter dieser Voraus- 

 setzung läßt sich f j dx + fj dy als totales Differential einer Funktion f (x, y) 

 betrachten. Ist diese Bedingung aber erfüllt, so ist stets eine Funktion 

 f (x, yj vorhanden. 



