Mathoiii.-itisclio Mi-haiKllnncr biologisclior I'rolilcine. 4^7 



Die Auflösung .sell)st j^eschieht in folf^endiT Weise: 

 Es sei d f (x, y) — f , . d x + f., . d y. 



Dann bildet man zunächst f (x, y) = / f, d x + Y — a+ Y. Dieser Aus- 

 druck wird gebildet, indem man in dem Ausdruck t'i den Wert von y als 

 konstant ansieht. Der Wert von Y, der hier die Konstante vertritt, ist 

 natürlich nur in bezug auf x konstant, braucht es jedoch nicht in bezug auf v 



zu sein. Es bleibt Y zu berechnen. Jetzt bildet man ' — '-^^-^—- 1- ^ — 



(\v y ,1 v ■ 



Dieser Ausdruck mulJ aufgrund des vorgelegten totalen Differentials gleich 



— -. — =^=:f., sein. Also wird: h ^— — t, folglich o\ — (f., ) d v 



dy ^- ay 3y - ^ \ " Oy^ • 



und 



Folglich f ix,y) =: jf, . dx +j (fs- ^) dy + C 



y 



Hier ist a = j f, . d x. 



Wir wollen diese Formel an der Hand einiger Beispiele erläutern 

 und bestätigen. 

 Beispiele: 



1. Es soll f(x, yj bestimmt werden, wenn df (x,y) = (2 x + -Jyidx + 

 (3 x + 2 y) dy ist. 



Zuerst muß untersucht werden, ob der Ausdruck 

 (2x + 2y)dx + (bx + 2y)dy =fidx + f., dy in der Tat ein totales Diffe- 

 rential ist. Es muß sein: 



afi dfa , 3(2x-h2v) 3(3x-f2y) rv TTi-f .• .• u^o o 



— - — — -\ also ^ ^=:— —. Die Diiferentiation ergibt 2=3. 



3y3x 3y 3x *= 



Also ist die notwendige Bedingung nicht erfüllt, und die 

 Aufgabe ist nicht lösbar, da der vorgelegte Ausdruck kein totales Diffe- 

 rential darstellt. 



2. Es soll f(x, y) bestimmt werden, wenn 



df (x,y)=i(2x 4- 3y)dx + (3x -f- 2y) dy ist. 



. 3fi 3(2x + :3y) .. 



Hier ist — - = ; ~ = 3. 



3y 3 y 



3ft^ 3(3x4-2y') ^g 

 3x 3 X 



Die notwendige Bedingung ist also erfüllt, und es existiert eine 

 Funktion f(x, y), deren totales Differential lautet: 



(2x -I- 3y)dx -I- (3x -|- 2y)dy =rf, dx + f, dy. 

 Zur Auffindung dieser Funktion bilden wir 



a = j'f, d x = j\2 X -f 3 y) d x = x^ + 3 x . y. 



Weiterhin bildet man fj ^ = 3x + 2 v — 3x = 2v. 



3 y 



Abderhaldou, Handbuch der biochomiBchen .\rbeitBrai>lhodi'n. IX. 27 



