418 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Es wird also / ( f., ^) d y = /2 y dy = y2 + C. 



P^olglich ist f (x,y) = x2 + 3x . y + y' + C. 



In der Tat ist 



3(x-^ + ax y+y-) o ^ ., . , 

 — —^ =^^ = 2 X + 3 y = f 1 ; und 



öx 

 3rx'-^ + 3xv + V2) 



3x+2y = f2 



Oy 



T). Es soll f(x,y) gesucht werden, wenn 



d f (x, y) = (5 X* y + ys) d x + (x^ + 5 x y*) dy ist. 



Hier ist fj =5x\y + y^; £3 =x5 + 5xy*. 



ö f 1 ' . / a f 2 . • • ■ ' 



— !- = 5x*+ov*: — i = 5x* + ov*. 



9y • ' 9x 



Also ist — -^ = --^ und es existiert eine Funktion f (x, y), deren totales 



y X V ^ / 



Differential der vorgelegte Ausdruck ist. 

 Jetzt wird 



a = j'fj dx = /(5 X *y + y^) d x = x 7 + y^x. 

 Weiterhin wird — = x» + 5 x v*, so daß 



9a , . . 



I2 — :r" = x^ + ^^y* — x5 — oxy*=: ist. 



9y 



Also ^7f2 -^ — \ dy = und 



f(x,y) = x^y + x.y5 + C. 



In der Tat ist 



9(x5y + xys) ^ 



-J^ — L ^=roxM' + v5; und 



9x . .- 1 



9('x5y + xy5) 



_ — l- ^=xr' + 5xyK 



9y -^ 



In der gleichen Weise lassen sich auch kompliziertere Aufgaben be- 

 handeln. 



VIII. KAPITEL. 



Differentialgleichungen. 



Das wichtigste und zugleich auch schwierigste Gebiet der höheren 

 Analysis ist die Lösung von Differentialgleichungen. Jedes naturwissen- 

 schaftliche Problem, das mit den Hilfsmitteln der Infinitesimalrechnung 

 behandelt wird, führt zunächst zu einer Differentialgleichung, die allerdings 

 häufig durch einfache oder mehrfache Integration nach den oben behan- 

 delten Methoden, meistens jedoch nur auf komphzierterem Wege lösbar ist. 



