-TT = g oder dv — gdt ist ein bcsoiideis fiiifuclicr Fall »'iiicr hiffo- 



Matlicmatischc Bchaiidliiiig liiologischcr l'rolilpiiip. 419 



(1 V 

 Es ist z. II Itciin freien lall -j- = g, wo f,' die lieschleuiii},Min!^' durch 



die Schwerkraft und v die (lescinvindij^-keit /iir Zeit t ist. 



dv 



dt 



rentialj^leichun^-, d. li. einer (lleichnnj,^ in welcher sowohl die aldiiin^'if^e 

 \'arial)le v wie auch die unabliiiniiij^e Nariahle t als Differentiale vor- 

 kommen. Natürlich kommen beide \'arial)len meistens auch in endlicher 

 Form vor, /. B. in der (Jleichuni^- 



X . y . d X — dy. 



Ist nun eine solche Differentialf^leichunp,- für irgend ein Troblem auf^re- 

 stellt, so will man die Beziehunj.^ von x und y in endlicher Form aus 

 der Differentialgleichung- erhalten, d. h. man sucht y = f('x). Dieser Wert 

 von y muß dann die Differentialyleichunf^, aus der er berechnet ist. be- 

 friedigen. 



'ö^ 



Kine auch nur oberflächliche Darlegung der Theorie d6r Differential- 

 gleichungen ist hier gänzlich unmöglich. Es sind da/u vor allem t'unktionen- 

 theoretische Kenntnisse notwendig, die wir hier nicht voraussetzen wollen. 

 Indessen gibt es eine Reihe von einfacheren Fällen, in denen es gelingt, 

 die Differentialgleichung durch sogenannte Quadratur, d. h. duicli die 

 Ausführung einer Integration zu lösen. Bevor wir diese Fälle besprechen, 

 wollen wir uns kurz über die Klassen unterrichten, in die sich die Diffe- 

 rentialgleichungen einteilen lassen. 



Zunächst unterscheidet man die Differentialgleichungen auf Grund 

 der Zahl der unabhängigen Variablen. Ist die gesuchte Integralfunktion y 

 nur von einer Variablen x abhängig, so hat man eine gewöhnliche 

 Differentialgleichung. Ist y aber eine Funktion mehrerer Variablen, so 

 enthält die Differentialgleichung partielle Diffcrentiahiuotienten von y nach 

 den unabhängigen Variablen und die Gleichung wird eine partielle 

 Differentialgleichung. 



dv 



-T^=:ax + by ist also eine gewöhnliche Differentialgleichung; 



3 y 6y 



— ^ = a— j- dagegen eine partielle Differentialgleichung, 



9x öt 



und ist y als F'unktion von x und t zu bestimmen. 



Da die Theorie der partiellen Ditferentialgleichungen noch erbeblich 

 schwieriger ist als die der gewöhnlichen Differentialgleichungen, so be- 

 schränken wir uns hier auf letztere. 



Man unterscheidet nun weiterhin nach sog:enannten Ordnungen. Die 

 Ordnungszahl einer vorgelegten Differentialgleichung wird bestimmt als <lie 

 Ordnung des höchsten in der (deichung vorkommenden Differentials oder 

 Differentiahiuotienten. Eine Gleichung erster Ordnung ist also z.B. 



a^-|-by» + xy-f c = o. 



