420 Egon Eichwald uml Aiulor Fodor. 



Ebenfalls erster Ordnung ist 



X . dy + 8 dx 4- X . y . dx =: 0. 

 Dagegen ist die Gleichung 



a-r^4-aiX + by = o 

 dx2 



von der zweiten Ordnung. 



d-v dv 

 Auch x-r^4-y-T^+ax'- + by + = ist eine Differentialgleichung 

 dx- dx 



zweiter Ordnung. 



Die Form einer Differentialgleichung n'" Ordnung ist nach dem 

 Mitgeteilten unschwer zu ermitteln. Noch eine andere mit den bisherigen 

 Einteilungen sich kreuzende Gruppierung der Differentialgleichungen ist 

 von praktischer Bedeutung. Zunächst ist selbstverständlich, daß im all- 

 gemeinen die Differentialgleichungen erster Ordnung am leichtesten inte- 

 grierbar sind. Unter diesen Gleichungen sind dann wieder jene Gleichungen 



dv 

 am einfachsten zu lösen, die -j^ sowie v nur in der ersten oder nullten 



dx 



Potenz enthalten, also die Gleichung 



dv 



?i(x)-^ + ?2(x)y + 93(x) = o. 



Man nennt dies eine lineare Differentialgleichung erster 

 Ordnung. Allgemein bezeichnet man eine Differentialgleichung als linear, 

 wenn sie; y sowie die Abteilungen von y nach x nur in der höchstens 

 ersten Potenz enthalten. Eine lineare Gleichung zweiter Ordnung 

 hat also die Form: 



d"^v dv 



"^^ ^^^ dS" "^ ^' ^^^ d5r "^ ^' ^^^^ "^ ^* ^^^ ^ ^• 



9i(x), cp2(x), 93 (x) und (^^{x) heißen die Koeffizienten dieser Gleichung 

 mid sind bei der linearen Gleichung nur von x abhängig, dagegen unab- 

 hängig vom y. Besonders leicht lösbar werden die Differentialgleichungen 

 endhch in dem Falle, daß sie homogen sind. 



Eine Differentialgleichung ist dann homogen, wenn sie in bezug auf 

 y und seine Ableitungen nur Glieder vom gleichen Grade enthält. Es 

 verschwindet also bei den linearen Gleichungen das Glied, das weder 

 y noch eine seiner Ableitungen enthält, so daß die Differentialgleichung 

 erster Ordnung, die homogen linear ist, lautet: 



9i(x)^ + ?Kx)y = 0. 



Die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung hat 

 die Form: 



?i W d^ + 92 (x)-^ + ?3 (x)y = 0. 



Wir wenden uns jetzt zunächst den Gleichungen erster Ordnung zu. 



