Mathematische Behandlung biologischer Prolileine. 4'Jl 



Differentialgleichungen erster Ordnung. 



Die einfachste Form einer i)ill'erentiulgl('icliun<,' ersicr (Jrduun^ ist 

 offenbar die folgende : 



Sie ist nichts anderes als das früher behandelte Problem der Inte- 

 gration, da dyrr:f(x)d.\ und 



y=/f(x)dx + C. 



Es ist klar, daß sich jede Differentialgleichung durch Integrationen 

 lösen läßt, wenn es möglich ist, die Variabein \ auf die eine und die 

 Variabein y auf die andere Seite der (ileichung zu bringen. Ist also 



^r=:<p(x,y)=r-^fc4' ^^ '''''^ N(x.y)dy + M(x,y)dx = 0. 

 ux J>i(x,yj 



Wenn jetzt N(x.y) eine Funktion nur von y und M(x,yj eine Funk- 

 tion nur von x ist, so wird: 



?i (y) dy + 9-, (x)dx = 0. Oder integriert: j (pi (y) dy -\-Jo. {\) . dx = C. 



Häufig ist die Differentialgleichung zwar nicht in dieser einfachen 

 Form gegeben, aber sie läßt sich durch algebraische Operationen auf diese 

 Form bringen. Man bezeichnet dieses Verfahren als die Integration 

 durch Trennung der Variabein. 



'» 



Integration durch Trennung der Variabein. 



1. Es soll die Differentialgleichung 



x- dx -f xy dy = integriert werden. 



Um die Variabein von einander zu trennen, dividiert man durch x 

 und erhält : 



X . dx + y dy — 0. 



Jetzt kann man sofort integrieren. Es wird : 



jx.dx+jydy=rC. 



— x2-f — v2 = C oder 



2. Ein anderes einfaches Beispiel ist das folgende: 

 Es soll integriert werden : 



ydx — xdy = 0. 



