Matliematisclie Behaiulliing hinlo^Msclior l'rnblcnip 4-j;; 



Die Trennlinie der Variabein in der üben betnichtcicn (ilcichunt^ 



dy _ Mix. y) 



ist im allj^emeinen nicht müj^lich. 



Wenn aber Mix, y) nnd N(x, y) homogene Funktionen des 

 gleichen (Irades sind, d. h. in bezug auf x und y nur (llicdcr von 

 gleichem (Jrade enthalten, so läßt sich die Trennung der Variabcln durch- 

 führen, indem man statt y den Ausdruck x.z substituiert. 



Es sei z. B. die folgende Gleichung zu integrieren: 



4. (x -f y) dx + ( y — \) dy = 0. 



Hier ist -r^ = — . 



dx y — \ 



y-fx = M(x, y) ist homogen vom 1. Grad. Eben.so ist y — x = N(x,y) 

 homogen vom 1. Grad. 



Wir setzen jetzt y = x.z. Dann wird: 



dy = X d z + z d X. Folglich 



X d z + z d X V -f X X + X z ... 



; — — ^ = . Oder: 



dx y — X X z — X 



dz 1 + z T . . • I 

 X -; — t- z — --. Jetzt wird 



dx z — 1 



1 4-z 



X . dz + z dx M . dx = 0. Und 



z — 1 



, Z- — z + l+z 



X . dz H ; dx — 0. 



z — l 



Trennt man jetzt die Variabein, so erhält man: 



(z— l)dz dx _^^ 

 z2+ l X 



Da n^-iniz^^/ljcdz /Li!^_,_LiH,x.^+n--arctg/i..t. 



J z-^+1 Jz-+1 .'z-^+1 2 



so wird In X + -^ In (1 + z-) — arc tg z == In (." oder 



ln^^Jil±^r=arctgz, da-^ln(14-z^) + lnx- lnC::r In ^ * ^^'^' ist. 



Setzt man jetzt statt z wicdor "^ ein. da ja y — xz. so \\ird 

 schlieLUich 



