424 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



V 



In— ^^ — p =:arctg|^^^j oder 



ln[i— ^--J = arctg[^J. 



Dies ist die Lösung der Gleichung 4. 



Diese Substitution y = xz führt stets zur Trennung der Variabein, 

 vorausgesetzt, daß M(x,y) und N(x, y) homogene Funktionen des gleichen 

 Grades sind. Es ergibt sich nämlich aus 



-^=: — , . f ' " , stets für 

 dx ^(x,y) 



-p- der Ausdruck x . -; — \-z der Gleichung a). 

 dx dx ° ^ 



Ferner wird nach der Substitution y = xz die rechte Seite stets im 

 Zähler und Nenner homogen von gleichem Grade in bezug auf x sein, 

 so daß sich die x herausheben und eine Funktion f(zj nur von z übrig- 

 bleibt. Es wird also 



dz , ^^ 1 



X . -5 — h z = + f ( z). Oder 

 dx ^ ^ 



xdz = ('f(z) — zjdx und 



dz _ dx 



f(z) — z ~ X ■ 



Hier sind die Variabein getrennt und es ergibt sich, wie oben, eine 



y 



Integralgleichnung für z, die durch die Substitution z = -^ in eine Integral- 

 gleichung für y umgewandelt wird. 



Wir lösen noch eine Gleichung, in der M(x, y) und N(x,y) homogen 

 vom zweiten Grade sind. 



5. Es soll 



(2x2 — y2jdx-}-xydy = 

 integriert werden. 



Man setzt y=xz und erhält: 



(2 x2 — x2 z2) d X + x2 z (X dz + z dx ) = 0. 



Diese Gleichung läßt sich durch x^ dividieren. Es wird: 



(2 — z2 -f z2) dx -h xzdz = 0. 



Indem man durch x dividiert, erzielt man eine Trennung der 

 Variabein: 



2dx 



X 



+ zdzr=0. Dies ergibt integriert: 



