Mathematische Behandlung biologischer Prohlemo. 4^5 



1 V 



21nx + — z2 = 21iiC oder, ila z = ^^ ist: 



Dies ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. 



Die komplette lineare Differentialgleichung erster Ordnung. 



Wir sahen ui)en, dalj die homogene lineare Differentialgleichun;^ 

 erster Ordnung stets durch Trennung der Varial)len lösbar i.st. Ist auch 

 ein Faktor mit y" vorhanden, so heißt die Gleichung komplett. Sie lautet: 



dv 



-y7 -I- 9i (x) y + ^2 (x) = 0, wo 9i(x) und 92 (-'^) unabhängig von y sind. 



Es gibt mehrere Methoden, um diese (ileichung aufzulösen. 

 Wir betrachten zunächst die Auflösung mit Hilfe des sogenannten 

 integrierenden Faktors. 



Dazu schreiben wir die Gleichung in der Form: 



<iy + [<p, (x ) . y + <P2 (x)J dx = 0. 



Wir hatten nun früher (vgl. S. 316) gesehen, daß eine Funktion 

 M (x, y) . dx + N (x, y) dy = ein totales Differential du darstellt . falls 



= -^^ ist. Dann läßt sich aus du = die Funktion u — Kon- 



3 y X 



stante bestimmen, u ist dann abhängig von y und x, mit anderen Worten. 



es ist eine (ileichung zwischen den endlichen Werten x und y aufgefunden. 



Es ist aber die Gleichung 1 im allgemeinen kein totales Differential, 

 da die Bedingung 



3M(x,y)_ 3N(x,y) 

 dy ^ dx 

 nicht erfüllt ist. 



Es läßt sich aber eine Funktion 'y(x) finden, mit der man die 

 Gleichung 1 multipliziert und sie dadurch in ein totales Differential ver- 

 wandelt. Diese Funktion '| (x) nennt man den integrierenden Faktor, 

 da die Gleichung 1 durch seine Anwendung in ein totales Differential ver- 

 wandelt wird und sich infolgedessen eine Funktion fix. y) — (' bestimmen 

 läßt, die eine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung darstellt und 

 aus der sich ohne Mühe y=:'p(x) berechnen läßt. 



Wir suchen zunächst den integrierenden Faktor ^(\). 



Der besseren Übersicht wegen bezeichnen wir <Pi(xi mit — ai und 

 92 (X) mit — a,,. Dann lautet die Gleichung 1: 



(ly 



dx 

 dy — (a, y-|-ao)dx = 0. 



-^=:a, y 4- ao oder 



