Mathematische Bchaudliiiig liiologischer rrolilcme. 407 



Also -r^ ;i, V . e = — ( a, v + Uq ) . e 



(1\ 1 . u 



Daraus foL^t: -r- ~ — aoC 

 dx 



Folglich ist 



-y»,dx 

 X = —J ao . e . dx. 



Es ist also 



— /a, dx — /a, dx , — /a, dx 



u = y.e +X = y.e — Jao.e =C. 



Daraus erhält man 



. — /»i^x, /a,dx 



2. y = [C+jao.e Je . 



Dies ist die Lösung der linearen Differentialgleichung erster Ordnung: 



d^ - '''' •' ^ ^<" 



dv 

 dx 



wo aj und ao Funktionen von x sind. 



-yajdx 



Der integrierende Faktor lautet: ^j/(x) = e 



Bei den praktischen Anwendungen kann man natürlich direkt die 

 allgemeine Formel 2 benutzen. Es ist jedoch ebenso einfach und dabei 

 instruktiver, zunächst den integrierenden Faktor zu berechnen und sodann 

 nach Aufstellung des totalen Differentials du dieses totale Differential von 

 neuem als solches zu lösen. 



Es sei z. B. folgende Gleichung zu integrieren: 



Beispiel 1 : dy v 



-i^=xs + ^. 

 dx X 



Hier ist ao = x'; a, =-^. 



Der integrierende Faktor wird 



— ^y"a,dx »^ X — Inx In x 1 



?j^(x)=:e =6 =e =e =x~^ = — . 



Hiermit multiplizieren wir die Gleichung und erhalten: 



du = — dv — (x2+-^ldXrrtO. 



X ' \- J 



Jetzt wird 



'1 



U=:/— dv + \ = — -{-\. 

 J X ' X 



