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Gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung. 



Wir lialK'H im vorherjj^elicndeii hctraclitct , wie man die liiit-anMi 

 I)iffcrentiali;i('icliinii,'en erster Ordmiiij,^ zu lösen vi-rina^'. Nicht lineare 

 Diffi'rrntialiik'icluingen erster Ordnnng, sowie l)ilT('n'ntialj,dcichnnt:en 

 zweiter und höherer Oi'diiunji: sind im allgemeinen duicli (^»nadratiiren 

 nicht mehr lösbar. 



Vm wenigstens kurz eine Vorstellung davon zu gehen, wie man bei 

 der Lösung solcher Differentialgleichungen verfährt, wollen wir erwiihnen, 

 dali man in diesen komplizierten Fallen y in der rmgebung eines I'unktes 

 a nach steigenden Potenzen von x — a in eine Keihe entwickelt. Sobald es 

 dann gelingt, für diese Reihe den Konvergenzbeweis zu erbringen, stidlt 

 die ermittelte Reihe eine Lösung der vorgelegten Differentialgleichung dar. 

 Es liegt in der Natur der Sache, dal'i hierzu hiiufig schwierige funktionen- 

 theoretische Untersuchungen erforderlich sind. 



Eine ganze Reihe von speziellen Fällen sind allerdings auch bei 

 den (ileichungen höheren Grades noch durch Quadraturen lösbar. Wir be- 

 trachten nur noch folgende beide Fälle, nändich die Gleichungen zweiter 

 Ordnung: 



^ = f(x);und^ = f(y). 



Also der zweite Differentialquotient eine Funktion nur von .\ oder 

 eine Funktion nur von v. 



Dieser Fall erledigt sich leicht durch doppelte Integration. 



Es wn-d. da -r^ = — -, — - ist: d -^^ = f (x) dx. 

 dx'- dx '^ (Lx J 



Also -^ = j f (X) iLx + C, = o, (x) + C, . 



Durch nochmalige Integration folgt dann : 



y-/?i(x)dx4-C,x + C,. 



\sW man sieht, enthält die Lösung der Differentialgleichung zweiter 

 Ordnung zwei willkürliche Konstanten C, und Co. Dies ist allgemein der 

 P'all bei allen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 



d-v 



Dieser F'all läßt sich auf folgende Art erledigen: 



Man bezeichne --^:=:p, und erhalt dann -r-r = — i — "^ i~' 

 dx dx» dx dx 



Folglich ist: -p- = f(y) oder dp^rfCy)^!. 



