Mathematische Bchaudlung biologischer Probleme. 433 



IX. KAPITEL. 



Die Kombinatorik, Wahrscheinlichkeits- und 

 Ausgleichungsrechnung. 



Diese drei mathematischen Spezial},'ehicte hiin^'cn niitiicinaiKlcr crip 

 zusammen. Die Lehre von den i<omhinatorisehen Operationen ist eine Xor- 

 hodiiigung für das Studium der Wahrscheinlichkeitsrcc Iminii: und diese 

 wieder ist notwendig für die naturwissenschaftlich so wichtige Ausgicichungs- 

 rechnung. Indessen gewinnen sowohl die Kond)iuatorik wie auch dif Wahr- 

 scheinliclikeitsrechnung, abgesehen von ihrem mathematischen Interesse, 

 allmählich auch eine steigende Anwendung in den Naturwissenschaften: 

 Die Kombinatorik z. B. in der Vererbungslehre und Statistik, die Wahr- 

 scheinlichkeitsrechnung in bestimmten Teilen der Phvsik /.. P». beim zweiten 

 Wärmesatz und anderswo. 



Wir wollen hier diese mathematischen I)iszij)linen hauptsächlich mit 

 Rücksicht auf die Ausgleichungsrechnung behandeln und beginnen mit 

 den komi)inatorischen Operationen. 



Die Kombinationslehre. 



Man unterscheidet drei verschiedene Arten, gegebene Elemente mit- 

 einander zu kombinieren, nämlich die Permutation, die Variation und 

 die Kombination im engeren Sinne. Es seien z. I>. die Elemente a. b, c 

 gegeben. Dann permutiert man diese Elemente, indem man sie in allen 

 denkbaren Anordnungen zusammenstellt, aber so, daü die Zahl der i)ermu- 

 tierten Elemente stets dieselbe bleibt, mit anderen Worten: in jeder 

 Permutation müssen stets alle Elemente vorhanden sein. 



Die Pernmtationen von a, b, c sind also: 



a b c b a c c a b' 



a c b b c a c b a. (Permutationen von a, b, c.) 



Die Anzahl der Permutationen bezeichnet man mit P(n). Demgegen- 

 über sind bei den Variationen nicht alle Elemente in jeder Varia- 

 tion vertreten, sondern nur eine bestimmte, für jede Variation fest- 

 zusetzende Anzahl. Sind z. B. n Elemente vorhanden, und sollen in jeder 

 \'ariation nur p Elemente vorkommen, so nennt man dies: n Elemente zur 

 pten Klasse variieren, und zwar ohne Wiederholung, wenn in jedi-m 

 Komplex jedes Element nicht öfter als einmal vorkommen darf. 



Sollen also z. B. drei Elemente a, b, e zur L'ten Klasse variiert werden 

 ohne Wiederholung, so ergeben sich folgende Variationen: 



a 1) b a c a (Variationen von a. b. c zur iMcn Klas.se 



a c b c (• b ohne Wiederholung). 



Man hat für die Anzahl der Variationen die Bezeichnung V,.(n) 

 d. h. V,,(n) ist die Anzahl der Variationen von n Elementen zur pten 

 Klasse ohne Wiederholung. 



Abderhalden, Handbuch der binchoroischon Arboitsnu-thoden. IX 28 



