434 Egon Eichwalcl und Aiidor Fodor. 



Bei den Variationen unterscheiden sich die einzelnen Komplexe teil- 

 weise nur durch die Anordnung der Elemente von einander, z. B. a b und 

 b a. b a ist eine Permutation von a b. Betrachtet man Komplexe, die 

 durch Permutation auseinander entstehen, als gleich, so entstehen aus den 

 Variationen die Kombinationen: 



n Elemente zur pten Klasse ohne Wiederholung kombinieren heißt 

 also, je p der n Elemente zusammenstellen, ohne daß Komplexe auftreten, 

 die Permutationen von einander sind, und ohne daß ein Komplex das 

 gleiche Element mehr als einmal enthält. Kombinationen von a, b, c zur 

 2ten Klasse sind also: 



ab b c (Kombinationen von a, b, c zur 2 ten Klasse ohne 



a c ■ Wiederholung). 



Man bezeichnet die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur 

 pten Klasse mit Kp(n). 



Unsere nächste Aufgabe wird jetzt sein, die Permutations-, Variations- 

 und Kombinationszahleu zu berechnen, sowie einige damit im Zusammen- 

 hang stehende wichtigere Aufgaben zu erledigen. 



Die Permutationen. 



Es soll berechnet werden, wieviel Permutationen von n von einander 

 verschiedenen Elementen möglich sind. P (n) = V 



Offenbar ist P (2) = 2 ; denn von zwei Elementen a b existieren 

 nur die Permutationen a b und b a. Es komme jetzt ein 3tes Element c 

 hinzu. Dieses 3te Element kann an erster, zweiter oder dritter Stelle 

 stehen. Jedesmal sind für die beiden anderen Elemente P (2) = 2 Permu- 

 tationen möglich, so daß P (3) = 3 P (2) wird. 



Kommt ein 4tes Element hinzu , so kann dies an 4 Stellen stehen 

 und bei jeder Stelle ergeben sich P(o) Permutationen der übrigen Ele- 

 mente. 



Also P (4) = 4 P (3). 



Ebenso wird P(5) = 5P(4). Und 

 P(n) = nP(n— 1). 



Es ist also P(l) = l. = 1 ! 



P (2) = 1 X 2. = 2 ! 



P(3) = 1.2x3 =3! 



P(4) = 1.2.3x4 =4! 



P(n) = 1.2.3.... fn— 1) x n = n! 



Hierbei nennt man n ! in Worten ,,n Fakultät". 

 Es bedeutet das Produkt bestehend aus allen n ganzen positiven 

 Zahlen. 



Es ist folglich die Zahl der Permutationen von n Elementen = n !. 



