Mutlicmatisclie liehaiiilliin^' Itiologisclier I'mlilcine. 4;^f> 



Beispiel: Es soll berechnet werden. :inf wieviel verschiedene Arten 

 sich 7 verschiedene l'ileniente Jinürdnen lassen. 



Die Lösunj^ lautet: Auf 7 1 Arten, also auf r)()4() Arten. 



Bei 10 Elementen erhält man bereits H,<)2S.S()n Arten. 



Es fraf^t sich jetzt, wie ^roli die Zahl der l'eiiiiiitationen ist. wenn 

 unter den n Kiementen irleicli:irti;i:e P^lemente vorhanden sind. l>ie Z.ihl 

 der PermutatitMien ist dann natürlich {^crin^er. 



Um sie zu berechnen, betrachten wir die 4 Elemente a, a^ b c. 



Diese haben 41 Permutationen. Wenn aber a, - a.^ ist, so wird z. !'>. 

 ajR. bc identisch mit a.ja, bc. Zu jeder Permutation von a, a., bc e.xistiert 

 augenscheinlich eine andere, bei der a, und a, vertauscht stehen und die 

 durch (ileichsetzen von a, und a„ identisch werden. Die Zahl der Permu- 

 tationen von aabc ist demnach halb so groß als die von a, a.Jjc, a!,so 



gleich —. 



Sind von n Elementen a Elemente identisch, so kann man in ,ilin- 

 licher Weise die Zahl der Permutationen berechnen. Pezeichnet man die 

 a Elemente wieder mit Indices, so ergeben sich a! Permutationen von 

 a^ 02 . . . aa. Je a I Permutationen werden also identisch, sobald 

 aj = aa = . . . = a» wird. 



Es ist also die Gesamtzahl der Permutationen von n Elementen, 

 unter denen a identisch sind: 



^ ^ a! 

 Ebenso ergibt sich, falls mehrere Arten von identischen Elementen 

 existieren, die Zahl der Permutationen von u Elementen, unter denen 

 a Elemente der einen Art, b djer anderen, c einer dritten Art iden- 

 tisch sind : 



n' 



''(")=rn^- 



Beispiel: Wie viel Komplexe lassen sich bilden aus den Elementen 

 a a a b c c c : 



Es ist u — : 7. a kommt 8mal, c ebenfalls ;imal vor. 



^''' ^'"^^IHTTTl^ 1.2.3.1.2.8 =''''■ 

 Ohne Wiederholung hätten sich aus 7 Elementen r)(,)40 Komplexe 

 ergeben. 



Wir gehen jetzt über zur Bestimmung der Variationszahlen Vp(n). 



Variationen. 



Um die Zahl Vp(n) zu berechnen, d. h. die Zahl der Variationen zur 

 kten Klasse aus n Elementen, gehen wir von den \ariationen der ersten 

 Klasse aus. 



Fj& ist Vi(n) = n, da jede \ariation gleich einem der Elemente n ist. 



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