436 Egon Eichwald und Andor Fodor. 



Die Zahl Vj (n) der Variationen zur 2ten Klasse ergibt sich folgender- 

 maßen: Sind die Elemente a, b, c . . . n, so erhält man Variationen, die 

 mit a begiimen, in der Zahl n — 1: nämlich mit ab, ac .... an. 



Ebenso beginnen mit b n — 1 Variationen. 



r n — 1 



Ebenso beginnen mit n n — 1 Variationen. 



Also gibt es insgesamt n(n — 1) Variationen, d. h. Vsfn)^: n(n — 1). 



Jetzt ergibt sich leicht Vg (n). Mit a beginnen so viel Variationen 

 3ter Klasse, als sich aus den übrig bleibenden Gliedern Variationen zur 

 2ten Klasse bilden lassen. Es lassen sich aber aus n — 1 Gliedern (n — 1) 

 (n — 2) Variationen zur 2ten Klasse bilden. Ebenso erhält man für mit 

 b, c . . . n beginnende Variationen 3ter Klasse (n — l)(n — 2), so daß ins- 

 gesamt V3 (n) = n (n — 1 ) (n — 2) wird. 



Indem man diese Art der Ableitung fortsetzt, erhält man 



Vp(n) = n(n-l)(n-2)...(n-p+l)= ^^^'p^, ! 



Diese Zahl von Variationen gilt für Variationen ohne Wiederholung. 

 Es darf also in keinem Komplex ein Element mehr als einmal vorkommen. 



Für Variationen mit Wiederholung, bezeichnet mit V^(n), er- 

 hält man: 



V^(n)=nP. 



Es ist nämlich V^ (n) die Zahl der Komplexe aus n Elementen zur 



2ten Klasse variiert, folgendermaßen zu bestimmen: 



Mit a beginnen n Komplexe, da hier im Gegensatz zu oben auch a 

 selbst folgen darf. Mit b beginnen ebenfalls n Komplexe. Für jedes der 



n Elemente erhält man n Komplexe, also wird V J (n) = n'-. 



V^(n) berechnet sich ähnlich: 



Mit n beginnen soviel Komplexe, als sich aus n Elementen Kom- 

 plexe zur 2ten Klasse mit Wiederholung bilden lassen, also n^ Komplexe. 



Da das gleiche für jedes andere Element gilt, so wird V^(n)=:n3. 



Ähnlich wird V^ (n) = np. 



Beispiele: Wir wollen zwei leicht kontrollierbare Beispiele der er- 



n! . ..w 



haltenen Formeln Vp(n)=:; ^t und V(n) = nP berechnen. 



^^ ^ (n — p)! p ^ ^ 



Wie groß ist die Anzahl der zweistelligen Zahlen, die aus den Zahlen 

 0, 1, 2, o, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sich bilden lassen: Erstens ohne Wiederholung 

 und zweitens mit Wiederholung? Die Zahlen 00, Ol ... 09 wollen wir mit 

 einbeziehen. 



Es ist die Zahl n der Elemente = 10 . p = 2. 



Also,virdV„(n)=^i^ = ^ = 90. 



