MathcnKitisclic Ik'liuiidluug liiolopischcr l'rolilomc. 437 



Die Anzahl der zweistelligen Zahlen mit AusschliiCi derer, in den^n die- 

 selbe Ziffer doppelt vorkommt, ist gleich 90. Darf dieselbe Ziffer auch doppelt 

 vorkommen, so erhalt man VjdO) = 10^ = 100. 



Kombinationen. 



Die bei weitem wichtigste kombinatorische Operation ist (in- Kom- 

 bination im engeren Sinne. Nach Definition ist K,,(n) die Zahl der Kom- 

 plexe der pten Klasse aus n Kiementen so gebildet, daß nie Komplexe auf- 

 treten, die nur durch Termutation eines anderen Komplexes gebildet sind. 



Auch hier unterscheiden wir wieder Kombinationen mit und ohne 

 Wiederholung. 



Kp (n) läßt sich leicht aus dem oben bei den Permutationeu und den 

 Variationen Dargelegten ableiten. 



Es ist Vp (n) die Anzahl aller möglichen Komplexe der pten Klasse 

 aus n Elementen. Greifen wir einen bestimmten Komplex heraus, so be- 

 finden sich unter den Vp(n) Variationen soviel Komplexe, die daraus durch 

 Permutation entstehen, als wie p Elemente Permutationen bilden, also pl 

 Es sollen aber bei den Kombinationen diese p! Komplexe in einen zu- 

 sammengezogen und als identisch betrachtet werden. Also wird 



Kp(n) = ^. 



n' 



Da Vp(n)=:; :, so wird 



(n — pj! 



Kp (n) = -77^^^ f 



p!(n — pj! 



Man kürzt Kp(n)ab in Up (gelesen „n über p''). Es ist also 



_ n ! _ n (n — l)(n — 2) . . . (n — p + 1 1 



"^ ~ p!(n— p)! "" 1 . 2 . 8 . . . p. ■ 



Diese Zahlen spielen besonders beim binomischen und judynomischen 

 Lehrsatz eine Rolle, sowie in der AVahrscheinlichkeitsrechnuni:. Man nennt 

 sie Kombinationszahlen, und zwar heißt bei n,, n die Basis und p der Index. 



Wir berechnen noch die Zahl K^'in) der Kombinationen pter Klasse 

 von n Kiementen mit Wiederholungen. Die.se Aufgabe liißt sich auf^die 

 Berechnung von Kombinationszahlen ohne Wiederholung zurückführen. 



Es seien z. B. aus a, b, c, d, e die Kond)inationen zur iWen Klasse 

 mit Wiederholungen gebildet. Sie lauten : 



aaa abd aee bce cdd 



aal) abe hbb bdd rde 



a a c a cc b b c b d e c"e e 



aa d a cd h hd b e e d li d 



aae ace bbe ccc dde 



a b b a d d bce c c d d e e 



a b c ade !> c d c c e e e e. 



