446 Egou Eichwald und Andor Fodor. 



^Meistens jedoch sind die einzelnen Beobaclitungen nicht von gleicher 

 Genauigkeit, und es fragt sich, wie man jetzt den wahrscheinlichsten Wert 

 auffindet. 



Uevor wir diesen Fall näher betrachten, wollen wir ein für die ganze 

 Ausgleichungsrechnung grundlegendes Gesetz ableiten, nämlich das GauJJ- 

 sche Fehlergesetz. 



Das Gauj3sch.e Fehlergesetz. 



Wenn x der wahre Wert einer Größe ist, so wird bei jeder Beob- 

 achtung ein bestimmter Fehler Vj, v, usw. auftreten. Wenn wir nun die 

 Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Fehlers bestimmen 

 könnten, so wäre es uns nach den in der Wahrscheinlichkeitsrechnung 

 dargelegten Grundsätzen auch möglich, die Wahrscheinlichkeit für das- Auf- 

 treten eines bestimmten Systems von Fehlern zu berechnen. Und anderer- 

 seits könnte man nach S. 441 den für das Auftreten einer bestimmten 

 Gruppe von Fehlern erhaltenen Ausdruck zu einem Maximum machen und 

 erhielte den wahrscheinlichsten Wert der gesuchten Größe, da für deren Wert 

 die erhaltene Kombination der Fehler die größte Wahrscheinlichkeit hat. 



Mit anderen Worten, man betrachtet den Ausgleichswert einer Größe 

 als die Ursache eines Ereignisses E; und als dieses Ereignis betrachtet 

 man die gefundene Kombination der Fehler. Freilich kennt mau in der 

 Praxis die wirklichen Fehler keineswegs, aber wir werden sehen, wie 

 man diesem Übelstand abhilft. 



Es kommt also zunächst alles darauf an, die Wahrscheinlichkeit für 

 das Auftreten eines bestimmten Fehlers A zu kennen, sie sei 9 ( A). Diese 

 Funktion 9(A) muß jetzt im speziellen bestimmt werden. Ist sie bekannt, 

 so setzt man den W^ert irgend eines Fehlers A in o(A) ein und erhält 

 die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Fehlers A. Man sieht sofort, 

 daß mit wachsendem A die Funktion ofA) kleiner werden muß, da die 

 Wahrscheinlichkeit für größere Fehler geringer ist, als die für kleinere 

 Fehler. 



Es seien n Beobachtungen gemacht worden mit den Fehlern A^, Ag . . . An. 

 Es sei Aj =x — a^ , A., = x — a« An = x — a«. Dann ist die Wahr- 

 scheinlichkeit für das Auftreten jedes einzelnen dieser Fehler gleich 

 9(Aj); ^(Aa); . . . 9 (An). Die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auf- 

 treten von Aj, Ag . . . und An ist 



1. W = 9(A,) 9(A,) 9 (A3)... 9 (An). 



Aus der Bedingung, daß W ein Maximum wird, berechnen wir die 

 Form von 9(A). 



Außer der Bedingung W=Max. haben wir noch für die Fehler die 

 Gleichung 



2. A, + A2-f .. . -t-An=:0. 



Es folgt dies aus dem Satz vom arithmetischen Mittel. 



