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qI§ mienblitf) ^o^c ^|?oten5 eine« i8rud)e§ = ^n\l ift. ^ieje 9tei^e 

 jummiert fid) nodj ber gormel 



a 



unb ergiebt 



") S)tc geometrische Siei^e ift eine Qai)ltntdi)c, in weld^er bic 

 aufcinanber folgenben ©lieber immer burc^ SJluItiplifatiou ber näd)ft üor^er» 

 gclienben mit einem gleichen Cluotienteu (q) entftanbcn finb. 2)er allgemeine 

 Stu§brucf für bic geometrif^e 9?ei^c ift 



a, aq, aq*, aq', aqi— i. 



Sft ber Quotient f feiner at§ 1, fo ift bie Steige fallenb, ift er größer a(§ 1, 

 fo ift fie fteigenb. ^ft bie Slnja:^! ber ©lieber unbegrenjt, fo entfielt eine 

 unenblid^e Siei^e. 



gür bie6ummierung ber geometrifc^en Steige fefet mon bie 

 einjclnen ©lieber, bercn ©umme = S fein mürbe, nebeneinanber, olfo 



1, a + aq + aq2 + aqu-i = S, 



Sliultiptisiert man beibc Seiten biefer ©leic^ung mit q, mie folgt: 



2, aq -}- aq'^ -|~ ^1^ ~!~ M^ "^^ Sq 



unb jic^t 1 tion 2 ab, fo ergiebt fid^: 



aqn — a= Sq — S, a(q« — 1) = S(q — 1), alfo S = ?:(5^^d), 



Sft bie Steige faHenb, fo mürben, ba q < 1, fohjo:^! !ßäi)\n ot§ 9Zenner ber 

 formet negatio merben. SKuItipIijieren mir ba^er bie ©lieber fämtüc^ mit — , 

 fo ergiebt fid) a _ ^(^ ~ 1°) " 



oft bie faüenbe 9?eif)e eine unenblid^e, fo mürbe qi al§ unenbtid^c ^otenj 

 eines 53ruc^e§ = fein, fomit 



a 



merben. 



l-q 



®ie arit^metifd^e Steige ift eine Qa^kntd^e, bereu einsefne auf« 

 cinanber folgenbe ©lieber gleiche ©ifferenj (d) iiaben 



a, a + (1, a 4- 2(1 a + (n — l)d. 



%üt bie ©ummierung fe^cn mir untereinanber : 



S = a + a + d-j-a + 2d a-a + (n — l)d 



S = a-j-(n — l)d + a4-(n — 2)d + a+(ii — H)d 4-a 



2S = n(a-fa + (n — l)d) 



S = -5-(a + a + (n — l)d. 



