LES NOUVELLES GEOMETRIES. 



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se sont élevées des voix qui remettent en question la 

 science tout entière. 



Quelle que soit la rigueur des démonstrations, inatta- 

 quables de l'aveu de tout le monde dès qu'on accepte cer- 

 tains principes, on comprend, en effet, qu'elles ne valent, 

 en un sens, que ce que valent les principes sur lesquels on 

 les fonde, et ce sont ces principes qu'il est venu à l'esprit 

 de certains géomètres, et même des plus grands, de révo- 

 quer en doute. Comment cela est possible, une remarque 

 et un exemple vont le faire comprendre. 



Commençons par la remarque. Le caractère de la 

 démonstration est d'obliger l'esprit, bien plus, de le con- 

 traindre à accepter la vérité d'une proposition quand on a 

 fait la preuve qu'elle est la conséquence nécessaire de deux 

 ou de plusieurs propositions absolument certaines. Mais 

 comme la certitude de celles-ci à leur tour n'a point d'autre 

 fondement qu'une preuve de même genre, il est clair qu'en 

 remontant la série nécessairement finie des propositions 

 démontrées, on ne saurait manquer de rencontrer à l'ori- 

 gine de la démonstration certaines propositions qui s'impo- 

 sent peut-être à notre acquiescement, mais dont il faut 

 reconnaître qu'elles échappent pourtant à toute démonstra- 

 tion. Tels sont par exemple en géométrie les axiomes, les 

 définitions, et ce qu'Euclide appelait les demandes ou pos- 

 tulats. 



De ces trois sortes de propositions, toutes indémon- 

 trables, il est convenu de dire qu'elles sont évidentes ; 

 encore ne sont-elles point évidentes au même titre et, à pre- 

 mière vue, le nom de postulat suffirait à le prouver : je 

 demande qu'on m'accorde qu'on ne peut, par un point 

 extérieur à une droite, mener dans le même plan qu'une 

 parallèle à cette droite ; et je ne demande jamais, la 

 demande serait superflue, qu'on m'accorde que le tout est 

 plus grand que la partie. C'est donc que l'acquiescement 

 me paraît en un cas moins assuré qu'en l'autre, puisque j'en 

 suis réduit à le demander dans l'un, tandis que \e suis sûr 

 de l'obtenir dans l'autre. D'où vient cela ? De ce que, dans 



