LES NOUVELLES GÉOMÉTRIES. 91 



Il pouvait donc venir à l'esprit de quelques-uns non 

 seulement de refuser d'accorder à Euclide sa demande, ce 

 qui n'eût pu avoir un autre résultat que d'arrêter d'emblée 

 la suite des développements de la géométrie, mais, dessein 

 beaucoup plus digne de véritables géomètres, de chercher 

 pour leur compte quelles conséquences suivraient d'une 

 proposition qui serait la négation, ou encore, si l'on veut, 

 qui serait la conire-demaride du postulat d'Euclide. « Par 

 un point pris hors d'une droite, ont dit ces géomètres, puis- 

 qu'il n'est ni prouvé, ni même nécessaire qu'on ne puisse 

 à cette droite mener qu'une parallèle, supposons au con- 

 traire qu'on puisse en mener plus d'une. » 



De l'affirmation ou de la négation du postulat d'Euclide 

 assurément ne pouvaient suivre les mêmes conséquences ; 

 assurément encore, dès lors que ce postulat, de l'aveu de 

 tout le monde, n'était ni démontré ni même démontrable, 

 on devait à l'avance s'interdire de faire valoir contre les 

 conséquences, jusqu'alors imprévues, de la négation, les 

 conséquences connues, développées par Euclide et par ses 

 successeurs, de l'affirmation : car au fond elles n'avaient, 

 les unes et les autres, d'autres droits à se faire accepter 

 et même à s'imposer que la rigueur avec laquelle on pou- 

 vait les déduire d'une première hypothèse ; et l'hypothèse 

 d'Euclide ne vaut pas plus, en somme, que l'hypothèse 

 contraire, à n'invoquer du moins que le principe de contra- 

 diction ou les lois ordinaires de la démonstration. Restait 

 donc une question, et une seule : de la contre-demande 

 peut-on, avec la même rigueur que de la demande, tirer 

 des conséquences vraiment géométriques ? 



Or, à cette question, vers 1830, un géomètre russe, 

 Lowatschewski, entreprit de répondre d'une manière déci- 

 sive, en développant sous le nom de « géométrie imagi- 

 naire » les suites d'un théorème déduit directement de la 

 contre-demande. Nous ne pouvons songer à exposer ici 

 l'œuvre de Lowatschewski ; nous voudrions seulement, 

 sur un exemple simple, tenter d'en faire saisir celle des 

 conséquences qui, remettant en question la nature de 



