92 études d'histoire des sciences. 



l'espace, y remettait du même coup toutes les définitions, 

 parlant tous les principes de la géométrie. 



En parlant de la demande, Euclide établissait que la 

 somme des trois angles d'un triangle recliligne équivaut 

 à deux droits ; parmi les conséquences auxquelles condui- 

 sait le théorème déduit de la contre-demande, Lowal- 

 schewski rencontre au contraire celle-ci, qu'en un triangle 

 rectiligne quelconque, cette somme est toujours plus 

 petite que deux droits, bien qu'elle s'approche beaucoup 

 de cette mesure quand les côtés du triangle sont très 

 petits *. 



Se peut-il toutefois que le « triangle rectiligne » de 

 Lowatschewski soit de tous points identique au triangle 

 d'Euclide ? Non, sans doute, si la somme des trois angles 

 de l'un est plus petite que la somme des trois angles de 

 l'autre. Ils ont donc à coup sûr quelque chose de commun, 

 par où ils sont tous deux triangles et rectilignes ; mais il 

 faut bien qu'ils aient aussi quelque chose de différent, d'où 

 vient précisément la différence relevée dans la mesure de 

 leurs angles. Ce qu'ils ont de commun, c'est que par leurs 

 côtés, supposés rectilignes, trois points pris dans l'espace 

 se trouvent joints deux à deux, d'où résultent en tout trois 

 angles et trois côtés : quant à leur différence, apparente 

 dans la mesure et la somme des trois angles, il est clair 

 qu'elles ne peuvent provenir que de la forme des côtés ou 

 des lignes qui les déterminent. C'est ainsi, par exemple, 

 que diffèrent l'un de l'autre le triangle qu'on trace à la 

 surface d'une sphère en unissant trois points par des arcs 

 de grand cercle, et le triangle qu'on obtient en unissant ces 

 points par les cordes de ces arcs. Mais de fait s'il arrive 

 que, dans le premier triangle, la somme des trois angles 

 est plus grande que deux droits, nous savons qu'il en faut 

 chercher la raison dans la courbure des côtés du triangle 



1. Les conséquences von-cucUdicnnes de celte proposition ont 

 été récemment déduites de nouveau par M. Gérard, professeur de 

 mathématiques au lycée de Lyon, dans sa remarquable thèse sur 

 la géométrie non-euclidienne. (Paris, Gauthier-Villars.) 



