LES NOUVELLES GÉOMÉTRIES. 93 



sphérique. En serait-il donc de même, mutatis mutandis, 

 dans le cas du triangle de Lowatschewski ? Non, si l'on 

 songe qu'il parie d'un triangle construit à l'aide de trois 

 droites ; oui, si ce qu'il appelle, et qu'en un sens il a le 

 droit d'appeler une droite, est, dans la l'orme ordinaire de 

 notre représentation, rigoureusement une courbe. Or, c'est 

 précisément à cela que le conduit la position qu'il prend 

 à l'égard d'Euclide. 



Passons par un détour pour le faire comprendre. Quand 

 à une droite CD je suppose tangent un cercle de rayon R, 

 si j'éloigne indéfiniment le centre de ce cercle, le point de 

 contact restant le même, la circonférence de ce cercle se 

 rapproche de plus en plus de la droite CD, tellement qu'à 

 la limite on admet d'ordinaire qu'elle devient CD. Suppo- 

 sons cependant avec Bolysei qu'elle ait pour limite non la 

 droite, mais une courbe, que pour cette raison même on 

 nommerait horicycle ; et supposons, en outre, que cette 

 courbe, par sa révolution autour de la normale élevée au 

 point de contact, engendre une surface qui serait une hori- 

 sphère ; on pourrait d'autant mieux substituer l'horisphèrc 

 au plan de la géométrie ordinaire que toute propriété entre 

 droites sur un plan est vraie entre horicycles sur une hori- 

 sphère. Or, à une droite AB, selon Bolyaei, ce qui est paral- 

 lèle, ce n'est point seulement, comme le croyait Euclide, 

 une droite telle que CD passant par un point P, c'est aussi 

 l'horicycle tangent en P à la droite CD, et c'est, en outre, 

 une multitude infinie de courbes uniformes, tangentes au 

 point de contact, qu'on peut mener entre l'horicycle et la 

 droite CD. Telles sont, au fond, les parallèles de Lowat- 

 schewski. 



On comprend à présent qu'on en puisse à AB mener un 

 nombre infini. Mais ce qu'on ne comprend plus, c'est qu'on 

 appelle droites des lignes qui sont des courbes et plan une 

 surface qui n'est point un plan. En ce qui regarde cette sur- 

 face, il va de soi cependant qu'il serait légitime de dire 

 qu'elle est un plan si seulement elle est telle qu'entre deux 

 quelconques de ses points toute ligne définie droite coïn- 



