LES NOUVELLES GÉOMÉTRIES. 95 



est une ligne telle que par ces deux points (sauf le cas parti- 

 culier où ils sont diamétralement opposés) on n'en peut 

 mener qu'une. De quel droit soutenir que la droite sur le 

 plan est plutôt une droite que ne l'est sur une sphère un 

 arc de grand cercle ? 



L'exemple, toutefois, suppose une condition : c'est que 

 la ligne à tracer soit strictement assujettie à coïncider par 

 tous ses points avec la surface que l'on considère ; mais, 

 une fois acceptée cette condition unique, ce qui est vrai de 

 l'arc de grand cercle tracé entre deux points d'une sur- 

 face sphérique, l'est, sur toutes les surfaces courbes à 

 courbure constante, de toutes les lignes appelées par les 

 géomètres lignes géodésiques, ou lignes les plus courtes 

 qu'on puisse, sur ces surfaces, tracer entre deux points. 



Or, si l'on peut concevoir un espace qui soit tel qu'entre 

 deux de ses points infiniment voisins l'élément linéaire qui 

 en mesure la distance réponde à l'intuition de la droite 

 euclidienne, n'en peut-on concevoir d'autres où un tel élé- 

 ment répondrait au contraire, et répondrait toujours, à une 

 géodésique ? 



Qu'on suppose maintenant prolongés en tous sens en 

 lignes géodésiques les éléments linéaires issus d'un point 

 donné de l'un de ces espaces et contenus dans l'un de ses 

 éléments superficiels, la courbure de la surface ainsi déter- 

 minée sera dite courbure de l'espace en ce point et pour 

 cet élément superficiel. Si l'on suppose, en outre, cette cour- 

 bure identique en tous les points de l'espace, pour tous 

 ses éléments superficiels, et quel que soit le nombre de ses 

 dimensions, on devra dire alors de cet espace lui-même 

 qu'il a une courbure constante. 



Bien que rien ne s'oppose a priori à l'existence d'espaces 

 à courbure variable, les néo-géomètres, par respect pour le 

 principe de la superposition des figures, condition essen- 

 tielle de toute démonstration géométrique, s'en sont tenus 

 d'ordinaire à l'étude des espaces à courbure constante qui 

 seuls rendent possible cette superposition ; et de même 

 qu'il existe trois sortes de surfaces de courbure cons- 



