LES NOUVELLES GLOMÉTRIES. 97 



comme toute géométrie, sur des définitions elles-mêmes 

 plus générales que les définitions des géométries particu- 

 lières. Telle est par exemple, pour choisir entre toutes la 

 plus essentielle, la définition de la ligne droite : le géo- 

 mètre qui la définit une ligne telle qu'entre deux points il 

 n'en passe qu'une, définit, sans le savoir, une droite plus 

 générale que la droite euclidienne ; et la preuve en est que 

 la définition convient tout aussi bien à la droite de Riemann 

 et de Lowatschewski qu'à la droite d'Euclide. 



Ce qu'il faut ajouter, pour obtenir celles-ci, à la défini- 

 tion de la droite générale, on le devine sans peine : c'est 

 la différence même qui dans l'espace général spécifie les 

 espaces particuliers ; bref, c'est la valeur du paramètre 

 propre à chacun de ces espaces. 



La définition complète de la droite euclidienne comprend 

 donc sans doute celte propriété commune à toutes les 

 droites qu'entre deux points il n'en passe qu'une * ; mais 

 elle comprend en outre le paramètre propre à l'espace 

 d'Euclide, manifesté précisément par celte propriété du 

 plan euclidien, que par un point pris hors d'une droite on 

 n'y peut à cette droite mener qu'une parallèle. En un mot, 

 elle comprend le postulat d'Euclide, réuni, sans qu'on l'ait 

 observé jusqu'à nos jours, à la définition de la droite géné- 

 rale 2. 



Si ces remarques sont justes, il est bon de noter que loin 

 de retrancher du nombre des principes de la géométrie 

 ces jugements synthétiques qui sont les postulats, elles 



1. N'oublions pas cependant que de même que deux points d'une 

 surface sphérique, dans le cas particulier où ils sont diamétrale- 

 ment opposés, peuvent être réunis par une inlinité de grands 

 cercles de la sphère, de même dans l'espace à deux dimensions 

 ou dans le plan de Riemann, il existe toujours deux points, mais 

 il n'en existe que deux, entre lesquels on peut mener une inliniié 

 de lignes droites. Comme la déiinition de la droite générale doit 

 comprendre ce cas, il convient de préférer à la définition générale 

 de la droite comme une ligne telle qu'entre deux points il n'en 

 passe qu'une, cette autre par exemple qu'elle est entre deux points 

 la plus courte distance. 



2. Cette remarque a été faite par AI. Calinon, dans un article 

 de la Revue philosophique sur les Espaces géométriques, t, XXVII, 

 p. 589. 



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