LES NOUVELLES GÉOMÉTRIES. 99 



qu'elle enveloppe comme celles de Riemann ou de Lowat- 

 schewski, outre ce qu'on appelle l'axiome de la droite, le 

 paramètre propre à l'espace d'Euclide, c'est oublier trop 

 vite qu'en revanche ce paramètre, quelle qu'en soit la 

 voleur, n'a de sens à son tour que par la conception de la 

 droite euclidienne. Concluons donc déjà qu'elle apparaît 

 d'emblée comme le soutien unique de toute géométrie, ce 

 qui revient à mettre au-dessus de toutes les autres, comme 

 le tout dont celles-ci ne sont que des parties, la vieille géo- 

 métrie fondée sur la notion de la droite euclidienne, la 

 seule à qui convienne comme à cette droite elle-même le 

 nom de générale. 



Contre ces conclusions toutefois, les nouveaux géomètres 

 auraient le droit de s'inscrire si, comme ils le soutiennent, 

 l'espace où nous tentons de construire les figures de la 

 géométrie était par devers soi constitué de telle sorte que, 

 loin de rester maîtres d'y tracer à notre gré des figures 

 quelconques, nous fussions au contraire astreints dans nos 

 tracés à y suivre certaines configurations qui en quelque 

 manière y seraient préétablies. Pour étrange que soit une 

 telle hypothèse, il n'est pas un instant douteux qu'on la 

 retrouve par exemple sous la définition générale des 

 espaces énoncée par Riemann. 



Soutenir, en effet, qu'un espace est défini quand entre 

 deux de ses points infiniment voisins l'élément linéaire par 

 lequel on les joint prend une forme spéciale, rectiligne s'il 

 s'agit de l'espace d'Euclide, curviligne s'il s'agit d'espaces 

 différents, n'est-ce point supposer qu'avant qu'il soit tracé, 

 une condition interne et propre à chaque espace détermine 

 avant nous l'élément linéaire et l'oblige à dépendre en 

 somme d'autre chose que de la position des deux points 

 qu'il unit ? 



Or, avant le tracé d'un pareil élément, que pourrait être 

 une condition de ce genre, sinon, antérieurement à l'élé- 

 ment lui-même, l'existence d'une surface avec les points de 

 laquelle il serait par tous ses points tenu de coïncider ? 

 Autant dire que le plan préexiste à la droite, la surface 



