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d'intersection des surfaces des deux systèmes soient des lignes 

 de courbure de ces surfaces. La recherche de systèmes ortho- 

 gonaux présente de grandes difficultés. Un géomètre illustre 

 avait cru que, étant donnée une série de surfaces dépendant 

 d'un paramètre arbitraire, il existe deux nouvelles séries qui, 

 avec la première forment un système triplement orthogonaj. 

 Dans une note mémorable, Bouquet avait montré, sur un 

 exemple particulier, qu'il n'en était rien. Ainsi, en égalant à une 

 constante arbitraire une fonction des coordonnées, celle-ci 

 ne peut être quelconque si la famille de surfaces ainsi obtenue 

 fait partie d'un système triple orthogonal. Pour qu'il en soit 

 ainsi, il est nécessaire et suffisant que cette fonction des trois 

 coordonnées satisfasse à une équation aux dérivées partielles 

 du troisième ordre. Tel est le résultat remarquable obtenu par 

 Darboux, qui fixe entièrement le degré de généralité du pro- 

 blème. Il serait injuste d'oublier que, deux ans auparavant, 

 Bonnet avait rencontré dans cette théorie une équation du troi- 

 sième ordre, où figuraient d'autres variables, mais son analyse 

 conduisait à une équation nécessaire qui n'apparaissait pas 

 nettement comme suffisante. Pour rappeler les admirables tra- 

 vaux de Lamé sur les coordonnées curvilignes, Darboux a donné 

 le nom de Surfaces de Lamé aux familles de surfaces faisant 

 partie d'un système triple orthogonal. Dans la note qu'il avait 

 présentée à l'Acadânie, étant encore élève à l'École normale, 

 il avait découvert un système de Lamé, formé de cyclides, c'est- 

 à-dire de surfaces du quatrième degré ayant pour ligne double 

 le cercle imaginaire de l'infini. Il en continue dans sa thèse 

 l'étude extrêmement intéressante. L'intégration de l'équation 

 du troisième ordre signalée par Darboux surpasse encore 

 aujourd'hui les forces de l'analyse. Depuis longtemps, les géo- 

 mètres ont cherché des systèmes de Lamé répondant à certaines 

 conditions supplémentaires. Dans ces études, des termes em- 

 pruntés à la physique reviennent constamment. On dit qu'une 

 famille de surfaces est isotherme quand, un équihbre calorifique 

 étant supposé établi, la température sur chaque surface de la 

 famille est constante. Lamé avait montré que, à l'exception des 

 cylindres et des cônes, les seuls systèmes à la fois orthogonaux 

 et isothermes sont formés de surfaces du second ordre. Le sys- 

 tème des cyclides n'est pas isotherme, mais les lignes de cour- 

 bure forment sur chaque surface un réseau isotherme; il est 



