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dérivées partielles du second ordre. Une autre remarque impor- 

 tante concerne la géométrie non euclidienne du géomètre russe 

 Lobatchevsky. Tout le monde a plus ou moins entendu parler 

 de cette géométrie, où la somme des angles d'un triangle est 

 inférieure à deux droits, et où par un point on peut mener deux 

 parallèles à une droite. Il résultait d'une étude de Cayley que 

 l'on peut faire correspondre tout l'espace non euclidien à l'inté- 

 rieur d'une quadrique convexe située dans un espace euclidien, 

 les distances et les angles s'exprimant à l'aide de certains rap- 

 ports anharmoniques. Une remarquable transformation permit 

 à Darboux de substituer à la correspondance de Cayley une 

 interprétation dans laquelle l'espace entier non euclidien cor- 

 respond au demi-espace euclidien situé du même côté d'un plan, 

 les géodésiques étant des arcs de circonférences normau.x à ce 

 plan. Henri Poincaré, sans connaître la remarque de Darboux, 

 a emploj'é, longtemps après, cette représentation dans ses 

 recherches sur les groupes discontinus. Il l'a aussi utilisée dans 

 ses études philosophiques sur les principes de la géométrie. Il 

 voyait dans cette correspondance une sorte de dictionnaire 

 permettant de passer de la géométrie non eucUdienne à la géo- 

 métrie euclidienne, et il en tirait la conclusion que cette der- 

 nière géométrie est seulement la plus commode, mot qui rexdent 

 si souvent dans ses écrits; je ne peux d'ailleurs adhérer, pom- 

 ma part, à ce nominalisme, car il isole les notions géométriques 

 de l'ensemble des autres notions auxquelles nous a conduits 

 le monde extérieur, oubliant que la géométrie fit jadis partie de 

 la physique. 



Les problèmes de géométrie infinitésimale condmsent souvent 

 à des équations aux dérivées partielles. L'intégration de ces 

 équations est un des problèmes les plus difficiles de l'analyse. 

 Au XVI 11^ siècle, d'Alembert donna la solution générale de l'équa- 

 tion célèbre des cordes vibrantes, qui régit aussi le mouvement 

 de l'air dans un tuyau sonore ; les noms de Monge et d'Ampère 

 sont liés ensuite à l'histoire de l'intégration des équations aux 

 dérivées partielles du second ordre. Pendant de longues années 

 après les recherches de ces deux grands géomètres, aucun 

 progrès réel ne fut réahsé dans cette théorie. En 1870, Darboux 

 fit connaître une méthode extrêmement importante qm allait 

 bien au delà des recherches antérieures. Le champ des équa- 

 tions intégrales fut considérablement agrandi, comprenant en 



