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tions spéciales. L'édifice fut repris à la base simultanément 

 en France par Méray et en Allemagne par Weierstrass, en pre- 

 nant comme premier élément de la théorie la série entière. Les 

 deux points de vue, celui de Cauchy, adopté plus tard par 

 Riemann, et celui de Méray-Weierstrass, se raccordent d'ailleurs 

 très \'ite, et il n'y a aucun intérêt, tout au contraire, à apporter 

 là un esprit systématique. 



Les fonctions analytiques ont fait pendant de nombreuses 

 années l'objet de l'enseignement d'Hermite; citons d'abord 

 parmi ceux qui ont fait progresser la théorie générale les noms 

 de Laguerre, Poincaré, Picard, Appell, Goursat, Painlevé, 

 Hadamard, Borel. La démonstration du théorème de Cauchy 

 sur l'intégrale nulle le long d'un contour supposait la continuité 

 de la dérivée; Goursat montra que cette hypothèse est inutile. 



Cauch}' et ses premiers disciples français avaient seulement 

 considéré les pôles des fonctions uniformes. Le géomètre alle- 

 mjmd Weierstrass appela l'attention sur une singularité plus 

 complexe, le point singulier essentiel. Picard étabht que, dans 

 le voisinage d'un point singuUer essentiel isolé, la fonction prend 

 une infinité de fois toute valeur donnée, ime exception étant 

 possible seulement pour deux valeurs au plus; diverses consé- 

 quences résultent de là pour les fonctions entières. La démons- 

 tration utilisait la fonction modulaire de la théorie des fonc- 

 tions elliptiques, fonctions à singularités plus élevées présen- 

 tant précisément la propriété qu'on veut démontrer être impos- 

 sible. Ces propositions donnèrent Heu à un grand nombre de 

 travaux. Borel, le premier, indiqua le principe d'une démons- 

 tration, où n'intervenait pas la transcendante indiquée. 



Depuis 1880, les généralités sur les fonctions uniformes, mises 



us forme de séries ou de produits infinis, ont été étudiées par 

 les géomètres cités plus haut. Rappelons notamment les déve- 

 loppements, en séries de polj-nomes, d'AppeU et de Painlevé, les 

 fonctions à espaces lacunaires de Poincaré et de Goursat, et 

 plus récemment certains développements de Montel. 



L'étude des séries entières sur leur cercle de convergence est 

 de la plus haute importance. Dans son beau mémoire sur 

 l'approximation des fonctions de grands nombres, Darboux 

 a tiré un parti très heureux du cas où les singularités sur ce 

 ■cercle sont de nature simple. Le travail d'Hadamard sur cette 

 question est fondamental et a appelé en particulier l'attention 



